2A hay A^2?

ta có 1/2<2/3 ; 3/4<4/5;5/6<6/7;...;199/200<200/201

suy ra A^2=1/2^2*3/4^2*5/6^2*...*199/200^2<1/2*2/3*3/4*4/5*5/6*6/7*...*199/200/200/201

suy ra A^2<1/201(đpcm)

Ta có:

\(\frac{1}{2}< \frac{2}{3};\frac{3}{4}< \frac{4}{5};\frac{5}{6}< \frac{6}{7};...;\frac{199}{200}< \frac{200}{201}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{199}{200}< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{200}{201}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{200}{201}\)

\(\Rightarrow A^2< \left(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{200}{201}\right)\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{199}{200}\right)\)

\(\Rightarrow A^2< \frac{1}{201}\left(đpcm\right)\)

\(A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{199}{200}\)

\(\Rightarrow A< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\)

\(\Rightarrow A.A< A.\left(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\right)\)

\(\Rightarrow A^2< \frac{1}{201}\)(làm phần trc như Sakuraba Laura nhá)

A =  -  ( 1+2+3 +....+ 202)  = - 203. 101 = -20503

B= ( 1+2-3-4) + ( 5+6-7-8) +..........+( 97+98 -99-100) + ( 101+102)

 = -4                 + (-4)              .........+ (-4)                + 203

= -4 .25 + 203  = 103

Ta có : \(\frac{1}{2}< \frac{2}{3};\frac{3}{4}< \frac{4}{5};\frac{5}{6}< \frac{6}{7};...;\frac{199}{200}< \frac{200}{201}\)

Đặt \(B=\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\)

Nên \(A< B\)

\(\Rightarrow A.B=\left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{199}{200}\right)\left(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\right)\)

\(\Rightarrow A.B=\frac{1}{201}\)

Vì \(A< B\)

\(\Rightarrow A^2< A.B=\frac{1}{201}\)

\(\Rightarrow A^2< \frac{1}{201}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

không thể không công nhận là đúng

3) 
C= (1/2).(3/4).(5/6).....(199/200). 
C= (1.3.5….199)/(2.4.6…200) 

C²= 1².3².5²….199²/(2².4².6²…200²) 
Ta có: k²>k²-1=(k-1)(k+1) nên 2²>1.3; 4²>3.5 … 200²>199.201. 
=> 
C² < 1².3².5²….199²/[(1.3).(3.5).(5.7)…(199.2...‡ 
=1².3².5²….199²/(1.3.3.5.5.7…199.201) 
=1².3².5²….199²/(1.3².5².7²…199².201) 
=1/201 

đúng rồi

Ta có:\(C=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.....\dfrac{199}{200}\)

\(\Rightarrow C< \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.....\dfrac{200}{201}\)

\(\Rightarrow C^2< \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.....\dfrac{200}{201}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.....\dfrac{199}{200}\)

\(\Rightarrow C^2< \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{5}.....\dfrac{199}{200}.\dfrac{200}{201}\)

\(\Rightarrow C^2< \dfrac{1}{201}\) (đpcm)

Ta có :

\(C=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}...\dfrac{199}{200}< \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}...\dfrac{200}{201}\)

\(\Rightarrow C^2< \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{5}...\dfrac{199}{200}.\dfrac{200}{201}\)

\(\Rightarrow C^2< \dfrac{1.2.3.4....199.200}{2.3.4.5....200.201}=\dfrac{1}{201}\)

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

\(C=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{199}{200}\)( 1 )

Biểu thức C là tích của 100 phân số của hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của C, giá trị của mỗi phân số tăng thêm, do đó :

\(C< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\)( 2 )

Nhân ( 1 ) với ( 2 ) theo từng vế ta được :

\(C^2< \left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{199}{200}\right).\left(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\right)\)

Vế phải của bất đẳng thức trên bằng :

\(\frac{1.\left(3.5...199\right)}{2.4.6...200}.\frac{2.4.6...200}{\left(3.5...199\right).201}=\frac{1}{201}\)

Vậy \(C^2< \frac{1}{201}\)