Gỉa sử 1 < a \(\le\) b không làm mất đi tính tổng quát của bài toán

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

=> \(\frac{2}{a}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow6\ge a\)

=> a \(\le\)6

=> a \(\in\){2;3;4;5;6}

+) Nếu a = 2 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=\frac{-1}{6}\) (loại)

+) Nếu a = 3 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0\)(loại)

+) Nếu a = 4 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\) => b = 12 (thỏa mãn)

+) Nếu a = 5 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}\) => b thuộc rỗng

+) Nếu a = 6 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\)=> b = 6 (thỏa mãn)

Vậy (a; b) \(\in\){(4; 12); (6;6)}

a = 6, b = 6 vì 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

hoặc a = 4; b = 12 vì 1/4 + 1/12 = 3/12 +1/12 = 4/12 = 1/3

1/3=1/1 +1/2

Ta có 0 < a < 10 và \(\frac{1}{a}<\frac{1}{3}\) ; \(\frac{1}{b}\) < \(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)\(=\frac{b}{axb}\)\(+\frac{a}{axb}=\frac{a+b}{axb\:}=\frac{1}{3}\)

Vì \(\frac{1}{3}\) là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 3 ,vì \(\frac{1}{a}\) < \(\frac{1}{3}\) nên a > 3 mà a < 10 do đó a = 6 hoặc = 9

Nếu a = 6 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\) Suy ra b = 6

Nếu a = 9 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\) (loại)

Vậy a = 6 ; b = 6

Ta có: 0<a<10 và \(\frac{1}{a}< \frac{1}{3};\frac{1}{b}< \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{\left(a\times b\right)}+\frac{a}{\left(a\times b\right)}=\frac{a+b}{a\times b}=\frac{1}{3}\)

Vì \(\frac{1}{3}\) là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3

Giả sử a chia hết cho 3, vì \(\frac{1}{a}< \frac{1}{3}\) nên a>3 mà a<10 do đó a=6 hoặc a=9.

Nếu a=6 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\Rightarrow b=6\) .

Nếu a=9 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\) (loại)

Vậy a=b=6

Ta có: 0<a<10 và $\frac{1}{a}<\frac{1}{3};\frac{1}{b}<\frac{1}{3}$1a <13 ;1b <13 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{\left(a\times b\right)}+\frac{a}{\left(a\times b\right)}=\frac{a+b}{a\times b}=\frac{1}{3}$1a +1b ‍=b(a×b) +a(a×b) =a+ba×b =13 

Vì $\frac{1}{3}$13  là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3

Giả sử a chia hết cho 3, vì $\frac{1}{a}<\frac{1}{3}$1a <13  nên a>3 mà a<10 do đó a=6 hoặc a=9.

Nếu a=6 thì $\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\Rightarrow b=6$1b =13 −16 =16 ⇒b=6 .

Nếu a=9 thì $\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$1b =13 −19 =29  (loại)

Vậy a=b=6

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>1a <13 ;1b <13 

1a +1b =b(a×b) +a(a×b) =a+ba×b =13 

Vì 13  là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3

Giả sử a chia hết cho 3, vì 1a <13  nên a>3 mà a<10 do đó a=6 hoặc a=9.

Nếu a=6 thì 1b =13 −16 =16 ⇒b=6 .

Nếu a=9 thì 1b =13 −19 =29  (loại)

Vậy a=b=6

vi 1/3=1/6+1/6

a=6

b=6

xét vế phải = (a+b)/ab =3(a+b) =3ab

xét vế trái = 1/3

=ab/3ab

ab/3ab = 3(a+b) /3ab

ab = 3(a+b)

ab - 3a - 3b=0

a(b-3) -3(ab-9) =9

a(b-3) -3(b-3) =9

(a-3)(b-3) = 9

tick nha

1/3 = 1/6 + 1/6

=> a=6

b=6

cả A và B đều =6

ai thấy đúng thì k nhé

Lập luận

1/3 = 1/6 + 1/6

= > a = 6

b = 6

\(P=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2-2=\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-2\)

\(=\left(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)+\left(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)-2\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương: 

\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^3}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}=\frac{3}{b}\)

\(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^2}{c^3}.\frac{1}{b}.\frac{1}{b}}=\frac{3}{c}\)

\(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^2}{a^3}.\frac{1}{c}.\frac{1}{c}}=\frac{3}{a}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{b}+\frac{3}{c}+\frac{3}{a}-2=3-2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\) thì

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\P=\frac{y^3}{x^2}+\frac{z^3}{y^2}+\frac{x^3}{z^2}\end{cases}}\)

Ta có:

\(\frac{x^3}{z^2}+z+z\ge3x,\frac{y^3}{x^2}+x+x\ge3y,\frac{z^3}{y^2}+y+y\ge3z\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{z^2}\ge3x-2z,\frac{y^3}{x^2}\ge3y-2x,\frac{z^3}{y^2}\ge3z-2y\)

\(\Rightarrow P\ge3x-2z+3y-2x+3z-2y=x+y+z=1\)

Đặt \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\)khi đó ta được xyz=1 và biểu thức P viết được thành

\(P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2x^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)

Ta có \(x^2+y^2\ge2xy;y^2+1\ge2y\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\)

Do đó ta được \(\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{xy+y+1}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{1}{y^2+2z^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{yz+z+1};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{zx+z+1}\)

Cộng các vế BĐT trên ta được

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

Do xyz=1 nên ta được

\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{zx}{z+1+zx}+\frac{x}{1+zx+z}+\frac{1}{zx+x+1}=1\)

Từ đó ta được

\(P\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1