a) Dễ thấy: ^CMN = 90⁰ - ^ACB/2;  ^AOQ = ^OAB + ^OBA = 90⁰ - ^ACB/2 => ^CMN = ^AOQ

=> Tứ giác AOQM nội tiếp => ^AQO = ^AMO = 90⁰ (1)

Tương tự ta có: Tứ giác BOPN nội tiếp => ^BPO = ^BNO = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^AQO = ^BPO hay ^AQB = ^BPA => Tứ giác ABPQ nội tiếp (đpcm).

b) Xét \(\Delta\)AQB vuông tại Q: E là trung điểm cạnh AB => ^EQB = ^EBQ = ^ABC/2 = ^QBC 

=> QE // BC (2 góc so le trong bằng nhau). Mà EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF // AB

Do đó 3 điểm E,Q,F thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit) (đpcm).

c) Sửa điểm E thành điểm R cho đỡ trùng.

+) C/m : ^BAC = 90⁰ => AR = AC ?

Chứng minh tương tự câu b ta có: PE //AC, gọi G là hình chiếu của O trên cạnh AB

Do ^BAC = 90⁰ => AB vuông góc AC. Từ đó: AC // OG // PE. Áp dụng hệ quả ĐL Thales thì có:

\(\frac{r}{AD}=\frac{OG}{AD}=\frac{EG}{EA}=\frac{PO}{PA}=\frac{ON}{AR}=\frac{r}{AR}\)=> AD=AR (đpcm).

+) C/m : AR = AD => ^BAC = 90⁰ ?

Lại theo hệ quả ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{OG}{AD}=\frac{r}{AR}=\frac{ON}{AR}=\frac{PO}{PA}=\frac{EO}{ED}\)

=> OG // AC (ĐL Thales đảo). Mà OG vuông góc AB => AB vuông  góc AC hay ^BAC = 90⁰ (đpcm).

d) Hệ thức cần chứng minh \(\Leftrightarrow r\left(AB+BC+CA\right)=OC\left(MN+2PQ\right)\)

\(\Leftrightarrow S_{ABC}=S_{CMON}+2S_{CPOQ}\Leftrightarrow2S_{AOB}=2S_{CPOQ}\Leftrightarrow S_{AOB}=S_{CPOQ}\) 

\(\Leftrightarrow OG.AB=OC.PQ\Leftrightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{OG}{OC}\Leftrightarrow\frac{OQ}{OA}=\frac{OM}{OC}\)(Do tứ giác ABPQ nội tiếp)

\(\Leftrightarrow\Delta AOQ~\Delta COM\left(g.g\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AQO}=\widehat{CMO}\left(=90^0\right)\\\widehat{OAQ}=\widehat{OCM}\left(=\widehat{OMQ}\right)\end{cases}}\)(Điều này hiển nhiên đúng)

Vậy hệ thức cần chứng minh là đúng => ĐPCM.

help me pls

a) Có ^AOB = 180⁰ - ^OAB - ^OBA = 180⁰ - ^BAC/2 - ^ABC/2 = 90⁰ + (180⁰ - ^BAC - ^ABC)/2 = 90⁰ + ^ACB/2

b) Dễ thấy A,M,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA (Vì ^AMO = ^AEO = 90⁰) (1)

Ta có ^AOK = 180⁰ - ^AOB = 180⁰ - (90⁰ + ^ABC/2) = 90⁰ - ^ACB/2 = ^CEN (Do \(\Delta\)CEN cân tại C)

=> Tứ giác AOKE nội tiếp hay A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A,M,K,O,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c) Ta thấy A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (cmt) và OK cắt AE tại T

Nên \(\frac{KT}{ET}=\frac{AT}{OT}\)(Hệ thức lượng đường tròn). Kết hợp \(\frac{AT}{OT}=\frac{AB}{OB}\)(AO là phân giác ^BAT)

Suy ra \(\frac{KT}{ET}=\frac{AB}{OB}\). Mặt khác: ^BKN = ^OAE = ^BAO và ^NBK = ^OBA => \(\Delta\)BKN ~ \(\Delta\)BAO (g.g)

=> \(\frac{AB}{OB}=\frac{KB}{NB}\). Từ đây \(\frac{KT}{ET}=\frac{KB}{BN}\)=> KT.BN = KB.ET (đpcm).