a) Xét tứ giác BCB'C' có 

\(\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BC'C}\) và \(\widehat{BB'C}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC

Do đó: BCB'C' là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Ta có: = 2 = 2.60^o = 120^o (1)

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

và = (đối đỉnh)

mà = 180^o - = 180^o - 60^o = 120^o

nên = 120^{o (2)}

= +

= 60^o + = 60^o+ 60^o

(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó = 120^o

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn

Ta có: \(\widehat{BOC}\) = 2\(\widehat{BAC}\) = 2.60^o = 120^o (1)

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

và \(\widehat{BHC}\) = \(\widehat{B'HC'}\) (đối đỉnh)

mà \(\widehat{B'HC'}\) = 180^o - \(\widehat{A}\) = 180^o - 60^o = 120^o

nên \(\widehat{BHC}\) = 120^{o (2)}

\(\widehat{BIC}\) = \(\widehat{A}\) + \(\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\)

= 60^o + \(\dfrac{180^0-60^0}{2}\) = 60^o+ 60^o

(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó \(\widehat{BIC}\) = 120^o

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn

a, Xét tứ giác BCB'C' có đỉnh C' và B' kề nhau và cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc 90^o => Tứ giác BCB'C' là tứ giác nội tiếp

b, kẻ đường kính AK, gọi giao điểm của AO và B'C' là H

Ta có: góc BAK = 1/2 sđ cung BK ( góc nội tiếp) (1)

góc AC'B' = góc B'CB ( góc ngoài ) = 1/2 sđ cung AB ( góc nội tiếp) (2)

Từ (1) và (2) => góc BAK + AC'B' = \(\frac{sđcungBK}{2}+\frac{sđcungAB}{2}\)=sđ cung AK / 2 = 180^o /2 = 90^o

Theo tổng 3 góc trong 1 tam giác => góc AHC' = 90^o

hay AO vuông góc C'B' (đpcm)

(hai góc đối đỉnh)

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng trên đoạn BC.

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng trên đoạn BC.

Kiến thức áp dụng

+ Các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng cố định dưới cùng một góc α thì đều thuộc cùng một đường tròn.  

a) Ta có ^AIC' = ^IAC + ^ICA = ^IAB + ^ICB = ^IAB + ^BAC' = ^IAC' => \(\Delta\)AC'I cân tại C'

=> C' nằm trên trung trực của AI. Tương tự B' cũng nằm trên trung trực của AI => B'C' vuông góc AI

Hay A'I vuông góc với B'C'. Lập luận tương tự B'I vuông góc A'C', C'I vuông góc A'B'

Do đó I là trực tâm của \(\Delta\)A'B'C' (đpcm).

b) Ta thấy ^FDE = ^A'DC' = ^A'AC' = ^IAC' = C'IA (Vì \(\Delta\)AC'I cân tại C') = ^EIC'

Suy ra tứ giác DEIF nội tiếp (đpcm).

c) Gọi S là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)DEF. Vì tứ giác DEIF nội tiếp (cmt) nên S đồng thời là tâm ngoại tiếp DEIF

Gọi giao điểm thứ hai giữa (S) và (O) là G. Khi đó ^DFG = ^DEG => ^GFA' = ^GEC'

Lại có ^EGF = ^EDF = ^A'DC' = ^A'GC' => ^FGA' = ^EGC'. Do vậy \(\Delta\)GEC' ~ \(\Delta\)GFA' (g.g)

=> \(\frac{GC'}{GA'}=\frac{EC'}{FA'}\). Mặt khác ^A'IF = ^C'IA = ^C'AI = ^C'AE và ^IA'F = ^AA'D = ^AC'D = ^AC'E

Cho nên \(\Delta\)AEC' ~ \(\Delta\)IFA' (g.g) => \(\frac{EC'}{FA'}=\frac{AC'}{IA'}\). Mà các điểm A,I,A',C' đều cố định

Nên tỉ số \(\frac{AC'}{FA'}\) là bất biến. Như vậy \(\frac{GC'}{GA'}\)không đổi, khi đó tỉ số giữa (GC' và (GA' của (O) không đổi

Kết hợp với (O), A',C' cố định suy ra G là điểm cố định. Theo đó trung trực của IG cố định

Mà S thuộc trung trực của IG (do D,I,E,F,G cùng thuộc (S)) nên S di động trên trung trực của IG cố định (đpcm).

Qua O kẻ đường thẳng d song song với B'C' , d cắt BB' và CC' lần lượt tại D , E

Áp dụng hệ quả định lý Ta - lét , ta có :

\(\Rightarrow\frac{KB'}{OD}=\frac{KH}{OH}=\frac{KC'}{OE}\)  \(\Rightarrow\frac{KB'}{KC'}=\frac{OD}{OE}\left(1\right)\)

Ta có : \(\widehat{BDO}=\widehat{ECO}\)(Vì cùng bằng \(\widehat{BB'C}\)) và \(\widehat{BOD}=\widehat{EOC}\)

\(\Rightarrow\Delta DBO\infty\Delta CEO\)\(\Rightarrow\frac{OD}{OC}=\frac{OB}{OE}\)\(\Rightarrow OD.OE=OC^2\)\(\Rightarrow\frac{OD}{OE}=\frac{OC^2}{OE^2}\)\(\left(2\right)\)

Lấy F \(\left(F\ne E\right)\)trên cùng đường thẳng CC' sao cho \(OE=OF\)

Lại có : \(\widehat{HB'C'}=\widehat{OCF}\)

\(\Rightarrow\Delta B'C'H\infty\Delta CFO\) \(\Rightarrow\frac{HB'}{HC'}=\frac{OC}{OF}\)\(\Rightarrow\frac{HB'}{HC'}=\frac{OC}{OE}\)\(\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)\(\Rightarrow\frac{KB'}{KC'}=\left(\frac{HB'}{HC'}\right)^2\)\(\left(đpcm\right)\)