\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)

Ta có

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều

Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

         \(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)

        \(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

        \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)

        \(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)

        \(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)

        \(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)

        \(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)

        \(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 ⁽²⁾

Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)

                        \(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)

                        \(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều

Ta có

\(1+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}\ge2\frac{\sqrt{ab}}{a}\)

\(1+\frac{c}{b}\ge2\frac{\sqrt{bc}}{b}\)

\(1+\frac{a}{c}\ge2\frac{\sqrt{ac}}{c}\)

Nhân vế theo vế ta được

\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge8\frac{\sqrt{ab.bc.ca}}{abc}=8\)

Dấu = xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều

Ta có

\(1+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}\ge2\frac{\sqrt{ab}}{a}\)

\(1+\frac{c}{b}\ge2\frac{\sqrt{bc}}{b}\)

\(1+\frac{a}{c}\ge2\frac{\sqrt{ac}}{c}\)

Nhân vế theo vế ta được

\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge8\frac{\sqrt{ab.bc.ca}}{abc}=8\)

Dấu = xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều

Bằng nhau

a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .

ta áp dụng (a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)) >=9 

dễ chứng minh bdt phụ này 

rùi từ đây suy ra 3(a-b)(b-c)(c-a) = 0 => a=b=c (1)

mà lên bđt phụ trên thì xảy ra khi a=b=c (1)

từ (1) , (2) , ta suy ra a=b=c hay đpcm 

vì k chặt chẽ lắm nên thông cảm

Mấy bài này mình đã làm rồi. 

\(VT-VP=\frac{\Sigma_{cyc}\left(a-b+c\right)\left(a-b\right)^2}{abc}\ge0\) ( do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ) 

Từ (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)=8 ==> ((a+b).(b+c).(c+a))/abc=8

==> ((a+b)^2.(b+c)^2.(c+a)^2)/(a^2.b^2.c^2)=64 (*)

Mà (a+b)^2>=4ab và (b+c)^2>=4bc và (c+a)^2>=4ac

==> (*)>=64 (Dấu"=" xảy ra <=> a=b=c)

==> ĐPCM