Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\) (a,b,c \(\in N\), 10 > a,b,c \(\ge0\))

TH1: \(\overline{ab}=4\overline{bc}\)

=> \(10a+b=40b+4c\)

=> \(10a=39b+4c\)

Mà b\(\ge1,c\ge0\) => \(39b+4c\ge39\)

=> 10a \(\ge39\)

=> a \(\ge4\)

Do \(\overline{ab}\) là số chính phương

=> \(\overline{ab}\in\left\{49;64;81\right\}\)

- Với \(\overline{ab}=49\) => \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=9\end{matrix}\right.\) => 4c = -311 (loại)

- Với \(\overline{ab}=64=>\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\) => 4c = - 96 (loại)

- Với \(\overline{ab}=81=>\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=1\end{matrix}\right.\) => 4c = 41 => c = \(\dfrac{41}{4}\) (loại)

TH2: \(4\overline{ab}=\overline{bc}\)

=> 40a + 4b = 10b + c

=> 40a = 6b + c

Mà \(b\le9;c\le9\)

=> 6b + c \(\le63\)

=> 40a \(\le63\)

=> a \(\le1\)

=> a = 1

Mà \(\overline{ab}\) là số chính phương

=>  \(\overline{ab}\)  = 16

=> b = 6

=> c = 4

Vậy số cần tìm là 164

Do số đó bằng bình phương 2 chữ số cuối nên 2 số cuối ko thể đồng thời bằng 0 (số đó khi đó cũng bằng 0, trái giả thiết nó có nhiều hơn 2 chữ số).

Gọi số đó có dạng \(\overline{xab}=100x+10a+b\) (với x là 1 số có thể nhiều hơn 1 chữ số và a;b là các chữ số từ 0 đến 9)

Theo đề bài:

\(100x+10a+b=\left(10a+b\right)^2\) 

\(\Rightarrow100x+10a+b=100a^2+20ab+b^2\)

\(\Rightarrow10\left(10x+a-10a^2-2ab\right)=b\left(b-1\right)\) (1)

Do vế trái chia hết cho 10 \(\Rightarrow\) vế phải chia hết cho 10

\(\Rightarrow b\left(b-1\right)⋮10\)

Ta có các trường hợp sau:

TH1: \(b=0\) thế vào (1)

\(\Rightarrow10x+a-10a^2=0\)

\(\Rightarrow a=10\left(a^2-x\right)\)

\(\Rightarrow a⋮10\Rightarrow a=0\) (loại do a;b không thể đồng thời bằng 0)

TH2: \(b=1\) thế vào (1)

\(\Rightarrow10x-10a^2-a=0\Rightarrow10\left(x-a^2\right)=a\)

Tương tự suy ra \(a=0\Rightarrow x=0\Rightarrow\) số đó bằng 1 (loại do 1 chỉ có 1 chữ số)

TH3: \(b=5\) thế vào (1)

\(\Rightarrow10\left(10x+a-10a^2-10a\right)=20\)

\(\Rightarrow10x-10a^2+a-10a=2\)

\(\Rightarrow a-2=10\left(a^2+a-x\right)\)

\(\Rightarrow a-2⋮10\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow10\left(2^2+2-x\right)=0\Rightarrow x=6\)

Số đó là \(625\)

TH4: \(b-1=5\Rightarrow b=6\) thế vào (1)

\(\Rightarrow10\left(10x+a-10a^2-12a\right)=30\)

\(\Rightarrow10x-10a^2-11a=3\)

\(\Rightarrow10\left(x-a^2-a\right)=a+3\)

\(\Rightarrow a+3⋮10\Rightarrow a=7\)

\(\Rightarrow10\left(x-7^2-7\right)=10\)

\(\Rightarrow x=57\)

Số đó là \(5776\)

Vậy có 2 số thỏa mãn yêu cầu là \(625\) và \(5776\)