TH1:p<3

                   +Vì p<3;mà p là số nguyên tố =>p=2.

                   Với p=2 ta có:p³+2=2³+2=8+2=10(là hợp số nên loại)

                   TH2:p>3

                   +vì p>3 nên=>p=6k+1 hoặc p=6k+5.

                   Với p=6k+1 ta có :p³+2=(6k+1)³+2=6k³+1+2=6k³+3:3(là  hợp số nên loại)

                   Với p=6k+5 ta có:p³+2=(6k+5)³+2=6k³+125+2=6k³+127(vì UCLN(6k³;127)=1=>6k³+127 là số nguyên tố nên nhận)

                                                          Vậy với p=6k+5 thì p³+2 cũng là số nguyên tố.

\(2xy+x-2y=4\\ \Rightarrow x\left(2y+1\right)-2y-1=4-1\\ \Rightarrow x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)=3\\ \Rightarrow\left(x-1\right)\left(2y+1\right)=3\)

Vì \(x,y\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1,2y+1\in Z\\x-1,2y+1\inƯ\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có bảng:

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;-2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

Do p nguyên tố nên:

+) Xét p = 2 ta có: p² + 8 = 2² + 8 = 12 là hợp số (loại)

+) Xêt p = 3 ta có: p² + 8 = 3² + 8 = 17 là nguyên tố (chọn)

+) Xét p > 3  => p = 3k + 1  hoặc  p = 3k + 2

Khi p = 3k + 1  => p² + 8 = (3k + 1)² + 8 = 9k² + 3k + 1 + 8 = 9k² + 3k + 9 = 3(3k² + k + 3) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

Khi p = 3k + 2  => p² + 8 = (3k + 2)² + 8 = 9k² + 6k + 4 + 8 = 9k² + 6k + 12 = 3(3k² + 2k + 4) chia hết cho 3  => p² + 8 là hợp số (loại) 

=> p = 3 để p và p² + 8 là nguyên tố 

Khi đó: p² + 2 = 3² + 2 = 11 là nguyên tố

Vậy nếu p và p² + 8 là nguyên tố thì p² + 2 cũng nguyên tố.