+) Với p=2 thì p= 2+2=4    LÀ HỢP SỐ

                       p=2+4=6     LÀ HỢP SỐ

vậy p=2 loại

+) Với p=3 thì p= 3+2 = 5 là số nguyên tố

                            3+4=7    là số nguyên tố

Vậy p=3 nhận

+) Với p<3 thì p=3k+1 hoặc 3k+2

TH1: p=3k+1 thì p=3k+ 1+ 2=3k+3 chia hết cho 3 và <3 nên p+2 là hợp số

vậy p=3k+ 1 loại

TH2: p=3k+ 2 thì p=3k+2+2=3k+ 4 chia hết cho 2 và <3 nên p+ 2  là hợp số

vậy p=3k+ 2 loại

vậy p = 3 thì p+2 và p+4 là các số nguyên tố

a) Xét các trường hợp p nguyên tố: 

* Xét p = 2 thì p² + 8 = 2² + 8 = 12 (không là số nguyên tố, loại)

* Xét p = 3 thì p² + 8 = 3² + 8 = 17 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó p² + 2 = 3² + 2 = 11 (là số nguyên tố, đpcm)

* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)

+) Nếu p = 3k + 1 thì p² + 8 = (3k + 1)² + 8 = 9k² + 6k + 9 = 3 (3k²  + 2k + 3)\(⋮\)3 mà 3 (3k² +2k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

+) Nếu p = 3k + 2 thì p² + 8 = (3k + 2)² + 8 = 9k² + 12k + 12 = 3 (3k²  + 6k + 4)\(⋮\)3 mà 3 (3k²  + 6k + 4) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

Vậy nếu p và p² + 8 là các số nguyên tố thì p² + 2 là số nguyên tố (đpcm)

b) Xét các trường hợp p nguyên tố: 

* Xét p = 2 thì 8p² + 1 = 8.2² + 1 = 33 (không là số nguyên tố, loại)

* Xét p = 3 thì 8p² + 1 = 8.3² + 1 = 73 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó 2p + 1 = 2.3 + 1 = 7 (là số nguyên tố, đpcm)

* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)

+) Nếu p = 3k + 1 thì 8p² + 1 = 8(3k + 1)² + 1 = 8(9k² + 6k + 1) + 1 = 3(24k² + 16k + 3)\(⋮\)3 mà 3(24k² + 16k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

+) Nếu p = 3k + 2 thì 8p² + 1 = 8(3k + 2)² + 1 = 8(9k² + 12k + 4) + 1 = 3(24k² + 32k + 11)\(⋮\)3 mà 3(24k² + 32k + 11) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)

Vậy nếu p và 8p² + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 là số nguyên tố (đpcm)

Xét vì P>5 nên P thuộc dạng 5k+1 ; 5k+2 ; 5k+3 ;5k+4

nếu P=5k+1 =>2P+1=2(5k+1)+1=10k+3

                     =>4P+1=4(5k+1)+1=20k+5(TM)

nếu P=5k+2=>2P+1=2(5k+2)+1=10k+5(KTM với đề bài)

nếu P=5k+3 =>2P+1=2(5k+3)+1=10k+7

                    =>4P+1=4(5k+3)+1=20k+13(KTM với đề bài)

nếu P=5k+4 =>2P+1=2(5k+4)+1=10k+9

                    =>4P+1=4(5k+4)+1=20k(KTM với đề bài)

Vậy với P=5k+1 thì 4P+1 là hợp số

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 và 3k + 2 (k \(\in\)N*)

- Nếu p = 3k + 1 thì 5p + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 5 + 1 = 15k + 6  \(⋮\) 3 là hợp số (loại)

- Nếu p = 3k + 2 thì 5p + 1 = 5(3k + 2) + 1 = 15k + 10 + 1 = 15k + 11 (thỏa mãn)

=> 7p + 1 = 7(3k + 2) + 1 = 21k + 14 + 1 = 21k + 15 \(⋮\)là hợp số (đpcm)

sửa dòng cuối: 21k + 15 \(⋮\)3 là hợp số (đpcm)

mk bổ sung cho st là nếu 15k+11 có thể : 11 khi k =11

Gọi a bằng ƯC [ m, mn + 8 ].

Ta có : m chia hết cho a [ m là lẻ suy ra a cũng là lẻ ].

Suy ra : mn chia hết cho a.

Từ đó , ta lại có: mn + 8 chia hết cho a và mn + - mn chia hết cho a.

Từ đó, ta thấy 8 sẽ chia hết cho a

=> a thuộc Ư [8]= {1,2,4,8}

Vì a là lẻ nên a = 1;Ư[mn,mn+8] = 1.

Và vì thế ta biết được m và mn + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Gọi \(d=ƯCLN\left(m,m.n+8\right)\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}m⋮d\\m.n+8⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m.n⋮d\\m.n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(m.n+8\right)-\left(m.n\right)⋮d\Rightarrow8⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2;4;8\right\}\) ; Mà m là số lẻ \(\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(m,m.n+8\right)=1\)

Vậy ...

a) 3

b) 5