a)  Ta có DM song song và bằng BN nên BMDN là hình bình hành (vì có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)

b) Tam giác CDN bằng tam giác DAP (cạnh - góc - cạnh)

=> Góc D1 = góc A1

Ta lại có Góc D2 + Góc D1 = Góc D = 90 độ

=> Góc D2 + Góc A1 = 90 đo

Trong tam giác KAD có tổng 2 góc A và D bằng 90 độ nên góc K bằng 90 độ 

=> AP vuông góc với DN

c) Tương tự câu b ta có BM vuông góc với AP

=> BM // DN (vì cùng vuông góc vời AP)

=> BMKN là hình thang.

Theo câu b tam giác KAD vuông tại K có KM là trung tuyến ứng với cạnh huyền => KM = 1/2 AD

=> KM = BN

=> BMKN là hình thang cân

d) \(DP=\frac{1}{2}\sqrt{5},AP=\sqrt{5-\frac{1}{4}5}=\frac{\sqrt{15}}{2}\)

  \(DP^2=PK.PA\)

=> \(PK=\frac{DP^2}{PA}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\)

=> \(\frac{PK}{PA}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{6}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{1}{3}\)

=> Đường cao hạ từ K xuống DC bằng 1/3 đường cao hạ từ A xuống DC

=> Đường cao hạ từ K xuống DC = \(\frac{1}{3}\sqrt{5}\)

=> Đường cao hạ từ K xuống MN bằng \(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{3}\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{6}\)

=> Diện tích KMN bằng \(\frac{1}{2}.MN.KH_2=\frac{1}{2}\sqrt{5}\frac{\sqrt{5}}{6}=\frac{5}{12}\)

a) Ta có AB // CD (gt)

Suy ra AM // CP    (1)

Lại có AM = AB/2; CP = CD/2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMCP là hình bình hành

Suy ra AP // CM hay ES // FR.

Tương tự ta cũng chứng minh được tứ giác BQDN là hình bình hành nên BQ // DN. Suy ra EF // RS.

Vậy tứ giác EFRS là hình bình hành

b) Đặt PS = x. Suy ra CR = 2x (tính chất đường trung bình)

Từ đó suy ra RF = ES = AE = 2x

Suy ra: ES = 2AP/5 => SEFRS = 2SAMCP/5

Vì SAMCP = SABCD/2 nên SEFRS = SABCD/2

a,Hình bình hành ABCD có AB=CD

⇒12AB=AM=12CD=CN⇒12AB=AM=12CD=CN

Mặt khác, M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do đó, AM//CN

Tứ giác AMCN có cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành (đpcm)

b, Tứ giác AMCN là hình bình hành

⇒⇒M1ˆ=N1ˆM1^=N1^ (Hai góc đối của hình bình hành AMCN)

⇒⇒M2ˆ=N2ˆM2^=N2^ (Do M1ˆM1^ và M2ˆM2^ là hai góc kề bù; N1ˆN1^ và N2ˆN2^ là hai góc kề bù)

Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên AB//CD ⇒⇒B1ˆ=D1ˆB1^=D1^

ΔEDNΔEDN và ΔKBMΔKBM có:

M2ˆ=N2ˆM2^=N2^

DN=BMDN=BM

B1ˆ=D1ˆB1^=D1^

⇒ΔEDN=ΔKBM(g.c.g)⇒ΔEDN=ΔKBM(g.c.g)

⇒ED=KB⇒ED=KB (đpcm)

c, Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình bình hành

⇒OA=OC⇒OA=OC

ΔCABΔCAB có:

MA=MBMA=MB

OA=OCOA=OC

MC cắt OB tại K

⇒⇒ K là trọng tâm của ΔCABΔCAB

Mặt khác, I là trung điểm của BC

⇒⇒ IA,OB,MC đồng quy tại K

Hay AK đi qua trung điểm I của BC (đpcm)

Mk vẽ ko đc đẹp lắm , xl nha . Chỗ AC bạn kẻ thêm 1 nét đứt và tên là O nha

@ Mạc Lan Nguyệt y@ EM bị nhầm đề rồi:). Đọc lại đề bài nhé!

a) ABCD là hình bình hành

=> AD//=BC

có M là trung điểm AD, N là trung điểm BC

=> MD//=BN

=> MBND là hình bình hành

b) Xét tam giác ADB có các đường trung tuyến AO, BM cắt nhau tại E

=> E là trọng tâm

=> \(AE=\frac{2}{3}AO=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC=\frac{1}{3}AC\)

Tương tự xét tam giác BCD có: F là trọng tâm

=> \(CF=\frac{1}{3}AC\)

Mà AE+EF+CF=AC=> \(EF=\frac{1}{3}AC\)

c) Gọi H là chân đường hạ từ D xuống đáy AD

=> \(S_{\Delta ABM}=\frac{1}{2}.BH.AM=\frac{1}{2}.BH.\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}BH.AD=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}.30=\frac{15}{2}\left(cm^2\right)\)

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10(cm)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

nên \(AP=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC có

P là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC

Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: PN//AB và \(PN=\dfrac{AB}{2}\)

mà \(AM=\dfrac{AB}{2}\)

nên PN//AM và PN=AM

Xét tứ giác AMPN có 

PN//AM

PN=AM

Do đó: AMPN là hình bình hành

mà \(\widehat{NAM}=90^0\)

nên AMPN là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác APCE có 

N là trung điểm của đường chéo AC

N là trung điểm của đường chéo PE

Do đó: APCE là hình bình hành

mà PE\(\perp\)AC

nên APCE là hình thoi