n=3 nha bạn

NHÉ

Câu này phải là số nguyên tố chứ 

Do \(n^2+2n+6\) là số chính phương nên đặt: \(n^2+2n+6=a^2\) 

\(\Rightarrow n^2+2n+1+5=a^2\) 

\(\Rightarrow\left(n^2+2n+1\right)+5=a^2\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^2+5=a^2\)

\(\Rightarrow a^2-\left(n+1\right)^2=5\)

\(\Rightarrow\left(a+n+1\right)\left(a-n-1\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(a+n+1\right)\left(a-n-1\right)=5\cdot1\)

Ta có: \(a+n+1>a-n-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+n+1=5\\a-n-1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+n=4\\a-n=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\left(4+2\right):2\\n=\left(4-2\right):2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\n=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(n^2+2n+6\) là số chính phương khi \(n=1\)

Giúp mình vs

\(n^2+2n+6\) là số chính phương

Đặt \(n^2+2n+6=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow4n^2+8n+24=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4n^2+8n+1+23=\left(2k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2+23=\left(2k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k\right)^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+2n+1\right)\left(2k-2n-1\right)=23\)

mà \(2k+2n+1>2k-2n-1,\forall a;k\in N\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n+1=23\\2k-2n-1=1\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n=22\\2k-2n=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+n=11\\k-n=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=6\\n=5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n=5\) thỏa mãn đề bài