MNPQ là hình thoi vì là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

a / hình bình hành 

b/ AC=BD ; AB>CD ; AB<AC<CD;AB<BD<CD

c/hình vuông

(Hình thì bạn tự vẽ nha)
a) Xét tam giác BAD có: MB=MA ; QB=QD
=> MQ là đường trung bình của tam giác BAD
=> MQ // AD ; MQ = 1/2 AD (1)
Xét tam giác CAD có: NC = NA ; PC = PD
=> NP là đường trung bình của tam giác CAD
=> NP // AD ; NP = 1/2 AD  (2)
Từ (1), (2) => MQ // NP ; MQ = NP
Tứ giác MNPQ có: MQ // NP ; MQ = NP
=> MNPQ là hình bình hành
b) Theo a), ta có: MQ = 1/2 AD                                 (*)
Xét tam giác ABC có: MA = MB ; NA = NC
=>MN là đường trung bình của tam giác ABC
=> MN = 1/2 BC                                                        (**)
Từ (*), (**) và AD=BC (ABCD là thang cân)
=> MQ = MN
Hình bình hành MNPQ có MQ = MN 
=> MNPQ là hình thoi

Do AI, DI lần lượt là phân giác BADˆ;ADCˆ→IADˆ=BADˆ2 và IDAˆ=ADCˆ2

Ta có AIDˆ=180o−(IADˆ+IDAˆ)=180o−BADˆ+ADCˆ2=180o−180o2=90o

Xét Δ AID vuông tại I có IM là trung tuyến thuộc cạnh huyền AD  MA=MI 

=> Δ AMI cân tại M => MAIˆ=MIAˆ

Do MAIˆ=BAIˆ→BAIˆ=MIAˆ

Mà 2 góc ở vị trí so le trong  MI // AB (1)

Tương tự có NJ // AB (2) 

Lại có MN // AB (3) ( MN là đường trung bình của hình thang ABCD ) 

Từ (1); (2) và (3)=>  M, N, I, J thẳng hàng.

Xét ΔBAC có BE/BA=BI/BC

nên EI//AC và EI=AC/2

Xét ΔDAC có DK/DC=DM/DA

nên KM//AC và KM=AC/2

=>EI//KM và EI=KM

Xét ΔABD có AE/AB=AM/AD

nên EM//BD và EM=BD/2=AC/2=EI

Xét tứ giác EIKM có

EI//KM

EI=KM

EM=EI

Do đó: EIKM là hình thoi

Trong  ∆ ABD ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

H là trung điểm của AD (gt)

nên EH là đường trung bình của  ∆ ABD

⇒ EH // BD và EH = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

- Trong  ∆ CBD ta có:

F là trung điểm của BC (gt)

G là trung điểm của CD (gt)

nên FG là đường trung bình của  ∆ CBD

⇒ FG // BD và FG = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EH // FG và EH = FG

Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Trong ∆ ABC ta có:

EF là đường trung bình

⇒ EF = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

AC = BD (tính chất hình thang cân) (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra: EH = EF

Vậy : Tứ giác EFGH là hình thoi.

Hình thang ABCD là hình thang cân có hai góc kề một đáy đều bằng 45 0 thì MNPQ là hình vuông.

a,

Xét ABD, ta có :

MA = MB (gt)

QA = QD (gt)

=> MQ là đường trung bình.

=> MQ // BD và MQ = BD : 2 (1)

Cmtt, ta được :

NP // BD và NP = BD : 2 (2)

NM // AC và NM = AC : 2 (3)

Từ (1) và (2) : MQ // NP và MQ = PP

=> Tứ giác MNPQ làhình bình hành.

ta có :

AC = BD ( hai đường chéo hình thang cân ABCD)

NM = AC : 2 (cmt)

MQ = BD : 2 (cmt)

=> NM = MQ

Xét hình bình hành MNPQ, ta có :

NM = MQ (cmt)

=> hình bình hành MNPQ là hình thoi.

b , Nếu AC BD

NM // AC (cmt)

NP // BD (cmt)

=> NM NP tại N

Hay

Xét hình thoi MNPQ , ta có : (cmt)

=> hình thoi MNPQ là hình vuông.

tick nha bn