Cho tam giác cân ABC (AB=AC, góc A < 90 độ), đường cao BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của đoạn BC, BM và BD. Tia NI cắt cạnh AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp
b) BC^2 =4/3 AC x CK
cho tam giác ABC cân tại A: góc A<90* ; Đường cao BD, gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC,BM,BD . Tia NI cắt các cạnh AC tại K . Chứng minh các tứ giác ABMD , ABNK nội tiếp và 3BC^2=4.CA.CK
+) Do tam giác ABC cân tại A, có AM là trung tuyến nên đồng thời là đường cao, hay \(\widehat{AMB}=90^o\)
Hai tam giác vuông ADB và AMB có chung cạnh huyền AB nên tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
+) Xét tam giác BMD có N và I lần lượt là trung điểm của BM và BD nên NI là đường trung bình của tam giác. Vậy nên NI // MD. Suy ra \(\widehat{KNC}=\widehat{DMC}\) (Hai góc đồng vị)
Mà do tứ giác ABMD nội tiếp nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DMC}\) nên \(\widehat{KNC}=\widehat{DAB}\)
Vậy thì tứ giác ABNK nội tiếp.
+) Xét tam giác CKN có MD // NK nên áp dụng định lý Ta let ta có:
\(\frac{DC}{CK}=\frac{MC}{CN}=\frac{2}{3}\)
Xét tam giác MDC và ABC có: góc C chung, \(\widehat{CAB}=\widehat{CMD}\) nên \(\Delta ABC\sim\Delta MDC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{DC}{BC}=\frac{MC}{AC}\Rightarrow DC.AC=BC.MC\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}AC.CK=\frac{1}{2}BC^2\Rightarrow4AC.CK=3BC^2\)
cảm ơn cô nhiều, cô làm bài ấy hay thật
Cho tam giác ABC trên cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho BD=CE Gọi M và N thứ tự là trung điể của BC và DE đường thẳng MN cắt AB và AC ở I và K Chứng minh rằng tam giác AIK cân
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, AC=4cm. Gọi Điện là điểm trên cạnh BC sao cho BD=3cm. Đường thẳng vuông góc với BC tại Đây cắt cạnh AC tại M, cắt tia BA tại N.
1) Chứng minh AM=DM.
2) Chứng minh tam giác MCN cân.
3) Gọi K là giao điểm của BM và CN. Chứng minh rằng BK là đường trung trực của đoạn thẳng CN.
4) Tính độ dài đoạn thẳng BK và chứng minh rằng góc NIC=90° với I là trung điểm của BK.
a) Xét △ABM vuông tại A và △DBM vuông tại D có:
BM chung
AB=DB=3cm(gt)
=> △ABM=△DBM (cạnh huyền-cạnh góc vuông) => AM=DM(2 cạnh t/ứ)
b) Xét △AMN và △DMC có:
AMN=DMC(2 góc đối đỉnh)
AM=DM(cmt)
MAN=MDC(gt)
=> △AMN=△DMC(g.c.g) => MN=MC(2 cạnh tướng ứng) => △MCN cân tại M
c) Vì △AMN=△DMC(cmt) => AN=DC(2 cạnh tương ứng)
Ta có AB=BD;AN=DC;BN=AN+AB;BC=BD+DC => BN=BC=> △BNC cân tại B
Vì △ABM=△DBM(cmt)=> ABM=DBM=> NBK=CBK (A thuộc BN; D thuộc BC;M thuộc BK) => BK là phân giác NBC
=> Trong △BNC cân tại B, BK là đường phân giác, đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao,... (t/c) => BK là đường trung trực của CN
d) Áp dụng định lý Pytago vào △ABC vuông tại A có: AB2+AC2=BC^2
=> 9+16=25=BC^2 (cm) => BC = 5 cm
Ta có BD+DC=BC;BD=3cm=> DC=2cm
Ta có AN=DC(cmt) => AN=2cm
Áp dụng định lý Pytago vào △ANC vuông tại A có:
AN^2+AC^2=NC^2
=> 4+16=NC^2
=> NC= căn 20 = 2 x căn 5 (cm)
Vì BK là trung trực NC => K là trung điểm NC => KC = 1/2 NC = căn 5 (cm)
Áp dụng định lý Pytago vào △BKC vuông tại K có:
BC^2=BK^2+KC^2 => BK^2=BC^2+KC^2=25-5=20cm => BK=căn 20=2 nhânnhân căn 5 (cm)
trên cạnh AB và AC của tam giác ABC, người ta lấy theo thứ tự các điểm D và E với BD=CE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Đường thẳng MN cắt AB và AC ở P và Q. Chứng minh tam giác APQ cân
Trên cạnh AB và AC của tam giác ABC, người ta lấy theo thứ tự các điểm D và E với BD=CE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Đường thẳng MN cắt AB với AC ở P và Q. Chứng minh rằng tam giác APQ cân
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên hai cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho BD=CE. Gọi M,N,I lần lượt là trung điểm của BC, DE, CD. Đường thẳng MN cắt AB và AC theo thứ tự ở P và Q.
Chứng minh:
a) tam giác MIN là tam giác cân
b) tam giác APQ là tam giác cân
trên cạnh AB và AC của tam giác ABC, người ta lấy theo thứ tự các điểm D và E với BD=CE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Đường thẳng MN cắt AB và AC ở P và Q. Chứng minh tam giác APQ cân
Bài 8. Cho tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC sao cho BD=CE. Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của BE và CD, BC a) Chứng minh tam giác IMK cân. b) Gọi giao điểm của IK với AB và AC theo thứ tự là G, H. Chứng minh AG=AH. c) Gọi N là trung điểm của DE. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của MN với AB và AC. Chứng minh tam giác APQ cân
a: Xét ΔBEC có
I là trung điểm của BE
M là trung điểm của BC
Do đó: IM là đường trung bình của ΔBEC
Suy ra: \(IM=\dfrac{EC}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔDCB có
K là trung điểm của DC
M là trung điểm của BC
Do đó: KM là đường trung bình của ΔDCB
Suy ra: \(KM=\dfrac{BD}{2}\)
mà BD=CE
nên \(KM=\dfrac{CE}{2}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra IM=KM
