Question

Cho tam giác cân $ABC$ ($AB = AC$, $\widehat{A} < {90}^\circ$), đường cao $BD$. Gọi $M,$ $N,$ $I$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn $BC,$ $BM$ và $BD$. Tia $NI$ cắt cạnh $AC$ ở $K$. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác $ABMD,$ $ABNK$ nội tiếp.

b) $BC^2=\dfrac{4}{3}CA.CK$.

Answer 1

xét tam giác ABC cân tại A

có AM là trung tuyến

=> AM là đg cao

ta có góc AMB =90 độ

ADB=90 độ(BD vg góc AC)

=>Tứ giác ABMD nội tiếp

xét tam giác BDM có N,I lần lượt là trg điểm MB,BD

=> NI là đtb tam giác BMD

=>IN//DM=> góc INM= DMC

=> góc DMC =BAK 

ta có gócINM=BAK cùng= DMC

=> tứ giác ABNK nội tiếp

b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung

góc CNK= BAC(cmt)

=> 2 tam giác CNK, CAB đồng dạng(g.g)

=> CK/cb= CN/AC

=> AC.CK=BC.CN

mà CN=MN+MC= BC/4+BC/2=3BC/4

nên AC.CK=3.BC^2/4=> BC^2= 4/3AC.CK

Answer 2

a) xét tam giác ABC cân tại A

 AM là đường trung tuyến => AM là đường cao

ta có : AMB = 90 độ

 ADB = 90 độ ( BD vuông góc với AC)

=> tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn

xét tam giác BDM có lần lượt N, I là trung điểm của MB và BD

=> NI là đường trung bình của tam giác BDM

=> IN//DM

=>  +INM = DMC

+ DMC = BAK

=> INM = BAK

=> tứ giác $ABNK$ nội tiếp.

b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung 

góc CNK = BAC

=> tam giác CNK đồng dạng với tam giác CAB

=> CK/CB=CN/AC

=> AC.CK=BC.CN

mà CN = MN+MC= BC/4 + BC/2=3BC/4

nên AC.CK=3BC^2/4=> BC2=34​CA.CK

Answer 3

a) 180^\circ-\widehat{BNK}=\widehat{CNK}=\widehat{CMD}=\widehat{BAC}.180∘−BNK=CNK=CMD=BAC.

b) Chú ý rằng: $\Delta ABC\backsim \Delta NKC.$

Answer 4

a) 180^\circ-\widehat{BNK}=\widehat{CNK}=\widehat{CMD}=\widehat{BAC}.180∘−BNK=CNK=CMD=BAC.

b) Chú ý rằng: $\Delta ABC\backsim \Delta NKC.$

Answer 5

Answer 6

Answer 7

 

Answer 8