a) y = x 3  − (m + 4) x 2  − 4x + m

⇔ ( x 2  − 1)m + y − x 3  + 4 x 2  + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) y′ = 3 x 2  − 2(m + 4)x – 4

Δ′ = ( m + 4 ) 2  + 12

Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x 3  – 4 x 2  – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:  x 3  – 4 x 2  – 4x = kx.

Hay phương trình  x 2  – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

a: Tọa độ đỉnh là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-6}{2\cdot4}=\dfrac{-6}{8}=\dfrac{-3}{4}\\y=-\dfrac{6^2-4\cdot4\cdot\left(-5\right)}{4\cdot4}=-\dfrac{29}{4}\end{matrix}\right.\)

Bảng biến thiên là:

b: Hàm số đồng biến khi x>-3/4; nghịch biến khi x<-3/4

GTNN của hàm số là y=-29/4 khi x=-3/4

a: Thay x=3 và y=0 vào (1), ta được:

\(6-3m=0\)

hay m=2

a) y = x 4  – 2 x 2

y′ = 4 x 3  – 4x = 4x( x 2  – 1)

y′ = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị

b) y′ = 4 x 3  – 4mx = 4x( x 2  – m)

Để (Cm) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và y C T  = 0.

    +) Nếu m ≤ 0 thì  x 2  – m ≥ 0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

    +) Nếu m > 0 thì y’ = 0 khi x = 0; x =  m  hoặc x = - m .

f(√m) = 0 ⇔ m 2  – 2 m 2  + m 3  –  m 2  = 0 ⇔  m 2 (m – 2) = 0 ⇔ m = 2 (do m > 0)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.