\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)(vì \(a+b+c\ne0\))

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(N=\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{3}\)

đáp án : 1

a) \(A=\left(\frac{1}{1-x}+\frac{2}{x+1}-\frac{5-x}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\) (ĐKXĐ: \(x\ne\pm1\) )

        \(=\left(\frac{x+1+2\left(1-x\right)-5+x}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\)

         \(=\left(\frac{x+1+2-2x-5+x}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\)

           \(=\left(\frac{-2}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\)

            \(=\frac{2}{x^2-1}.\frac{x^2-1}{1-2x}=\frac{2}{1-2x}\)

b) Để x nhận giá trị nguyên <=> 2 chia hết cho 1 - 2x

                                         <=> 1-2x thuộc Ư(2) = {1;2;-1;-2}

Nếu 1-2x = 1 thì 2x = 0 => x= 0

Nếu 1-2x = 2 thì 2x = -1 => x = -1/2

Nếu 1-2x = -1 thì 2x = 2 => x =1

Nếu 1-2x = -2 thì 2x = 3 => x = 3/2

Vậy ....

Nhận xét:\(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\)

=>   \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2\)

ta có \(a^3+b^3+c^3-3abc\)

Thay vào biểu thức trên ta có:

\(\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\)

= \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

=\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

= \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

=\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Vay \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)\)

Do \(a^3+b^3+c^3=3abc\)và theo đầu bài \(a+b+c\ne0\)nen  \(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab=0\)

=> \(a=b=c\)

Vay  N = \(\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{1}{3}\)

không hỉu

chỉnh lại rồi nhé

Bài 11 là \(a+b+c=0\)thôi nha, không có a;b;c khác 0 đâu tui bị nhầm đó, xin lỗi nhiều ;;;

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\) (vì \(a+b+c\ne0\))

<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\) (nhân cả hai về với hai)

<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=> a - b = b - c = c - a = 0 (vì 3 cái đấy đều lớn hơn hoặc bằng 0)

<=> a = b = c 

Nên : P = \(\left(2017+\frac{a}{b}\right)\left(2017+\frac{b}{c}\right)\left(2017+\frac{c}{a}\right)=\left(2017+\frac{a}{a}\right)\left(2017+\frac{a}{a}\right)+\left(2017+\frac{a}{a}\right)\)

            \(=\left(2017+1\right)\left(2017+1\right)\left(2017+1\right)=2018.2018.2018=2018^3\)