Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. 
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 
=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

 Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. 
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 
=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

x.y.z = x+y+z

=>x=1   ;   y=2   ;     z=3 

nhớ k cho mk nha

Do các ẩn x, y, z có vai trò đẳng lập, nên có thể giả sử 1\(\le\)x\(\le\)y\(\le\)z

=> xyz = 1 + x + y + z\(\le\)3z + 1

Mình vội quá!!!

Viết tiếp nè,

xyz = 1 + x + y + z \(\le\)3z + 1\(\le\)4z           (Do 1\(\le\)z)

Chia hai vế cho z được xy\(\le\)4 => xy \(\in\){ 1; 2; 3; 4}

Với xy = 1 thì x = y = 1 => z = 3 + z (vô lí)

Với xy = 2 thì x = 1; y = 2 => z = 4

Với xy = 3 thì x = 1; y = 3 => z = 2,5 (loại)

Với xy = 4 thì x = 1; y = 4 => z = 2

Vậy (x; y; z) = (1; 2; 4) và các hoán vị của chúng 

Sửa một chút, phần trên cùng phải là 1\(\le\)x\(\le\)y\(\le\)z, không phải là 1xyz

Dòng dưới của phần trên cùng bỏ vì nó ở dưới rồi. mong các bạn thông cảm vì mình vội quá

không mất tính tổng quát, ta giả sử  \(0\le x\le y\le z\),

==> \(x+y+z\le z+z+z=3z\)==> \(xyz\le3z\Rightarrow xy\le3\Rightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}\)

Nếu xy=1 thì x=y=1 ==> z = 2+z vô lý (loại)

Nếu xy=2 ,do x=<y nên x=1,y=2 ==> 2z=3+z ==> z=3 (thoả mãn )

Nếu xy=3 do x=<y nên x=1;y=3 ==> 3z = 4+z==> z= 2 (Thoả mãn )

Vậy (x,y,z)=(1,2,3); (1,3,2);(2,1,3),(2,3,1); (3,1,2);(3,2,1)

ahihi

tớ công bố cách khác.

Không mất tính tổng quát,giả sử \(1\le x\le y\le z\)

Theo bài ra ta có:\(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{zx}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\ge1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{x^2}\ge1\)

\(\Rightarrow x^2\le3\)

\(\Rightarrow x=1\)(vì \(x,y,z\)nguyên dương)

Thay vào đề bài,ta có:

\(yz=1+y+z\)

\(\Rightarrow yz-y-z=1\)

\(\Rightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)=2\)

Do y;z nguyên dương \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y\ge1\\z\ge1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y-1\ge0\\z-1\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)=2\cdot1=1\cdot2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\z=2\end{cases};\hept{\begin{cases}y=2\\z=3\end{cases}}}\)

Vậy các cặp số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn là:\(\left(1;2;3\right)\)và các hoán vị của chúng.

làm đc thì giỏi. Ko làm đc cũng chả sao cả. Biết làm rồi

giải ra cho mk tham khảo đi được ko?????? mk ko bít

5447564

Mình muốn xem ai làm đc ko

\(60=3.4.5\)

Ta cần chứng minh xyz chia hết cho 3 ; 4 và 5

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z đều không chia hết cho 3

Khi đó x ; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x² ; y² và z² chia cho 3 dư 1

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 3 )

Vô lí vì  \(z^2\equiv1\) ( mod 3 )

Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3, do đó \(xyz⋮3\) ( 1 )

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 4

Khi đó x ; y và z chia cho 4 dư 1 ; 2 hoặc 3

- TH1 : Cả x ; y và z lẻ => x² ; y² và z² chia 4 dư 1

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại ) 

- TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz chia hết cho 4

- TH3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ

+) Với x ; y lẻ thì  \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại do z chẵn nên \(z^2\equiv0\) ( mod 4 ) )

+) Với x ; z lẻ thì \(y^2=z^2-x^2\equiv\left(z-x\right)\left(z+x\right)\) .Ta có bảng sau : 

Các trường hợp khác tương tự

Ta luôn có \(y^2=\left(z-x\right)\left(z+x\right)⋮8\)  . Trong khi đó y² không chia hết cho 4 nhưng lại chia hết cho 8 => Mâu thuẫn 

Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 \(\Rightarrow xyz⋮4\) ( 2 )

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 5

Khi đó x ; y và z chia cho 5 dư 1 ; 2 ; 3 hoặc 4 => x² ; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1

- TH1 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv2\) ( mod 5 ) ( loại )

- TH2 : \(x^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ( loại )

- TH3 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv0\) ( mod 5 ) ( loại )

Vậy tồn tại ít nhất một số chia hết cho 5 \(\Rightarrow xyz⋮5\) ( 3 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow xyz⋮3.4.5=60\left(đpcm\right)\)

cảm ơn bạn Death Note đã giúp mk nhé!