Gọi O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy \(\Delta OAB\) vuông tại O và \(OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Từ đó \(OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-a^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{a}{2}\) \(\Rightarrow AC=a\).

Vì \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) nên \(SA\perp AC\) tại A hay \(\Delta SAC\) vuông tại A. 

Lại có \(\tan SAC=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\) nên \(\widehat{SAC}=60^o\), suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 60^o \(\Rightarrow\) Chọn A

Chỗ \(\widehat{SAC}\) em sửa lại là \(\widehat{SCA}\) mới đúng ạ.

Đáp án A

Ta có SC là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD vì các góc ở đỉnh A, B, D đều nhìn SC dưới góc 90 độ S B C ^   =   S D C ^   =   S A C ^   =   90 0 . Do đó bán kính của mặt cầu là R = 1 2 SC.

Tam giác ADC vuông tại D có

Đáp án A.

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có

  C B ⊥ A B , C B ⊥ S A , A B ∩ S A = A ⇒ C B ⊥ S A B ⇒ C B ⊥ S B ⇒ Δ S B C    

vuông tại B.

Lại có  

C D ⊥ A D , C D ⊥ S A , A D ∩ S A = A ⇒ C D ⊥ S A D ⇒ C D ⊥ S D

  ⇒ Δ S D C vuông tại D.

Mặt khác   S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ A C ⇒ Δ S A C vuông tại A.

Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: Δ S A C , Δ S B C , Δ S D C  lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên I S = I A = I B = I C = I D = 1 2 S C . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính  R = 1 2 S C

2. Tính diện tích mặt cầu

Ta có  S C , A B C D ^ = S C , A C ^ = S C A ^ = 60 °

Do Δ A D C  vuông tại A nên   S ?A C = 1 2 A D . C D ⇔ A D = 2 S Δ A D C C D = a 2 3 a = a 3

⇒ A C = A D 2 + C D 2 = a 3 2 + a 2 = 2 a

Mà  A C = S C . cos S C A ^ ⇒ S C = 2 a cos 60 ° = 4 a

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R = S C 2 = 4 a 2 = 2 a  và diện tích mặt cầu là S = 4 π R 2 = 4 π . 2 a 2 = 16 π a 2  (đvdt).

Đáp án A

Tam giác ADC vuông tại D  ⇒ S Δ A D C = 1 2 . A D . C D = a 2 3 2

  ⇒ C D = a 3 ⇒ A C = A D 2 + C D 2 = a 2 + a 3 2 = 2 a .

Vì tứ giác ABCD có A B C ⏜ = A D C ⏜ = 90 ∘ ⇒ A B C D  là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O với O là trung điểm của AC  ⇒ R A B C D = A C 2 = a .

Và  S A ⊥ A B C D ⇒ S C ; A B C D ⏜ = S C ; A C ⏜ = S C A ⏜ = 60 ∘

Tam giác SAC vuông tại A ⇒ tan S C A ⏜ = S A A C ⇒ S A = 2 a 3 .

Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là:

R = R 2 A B C D + S A 2 4 = 2 a ⇒ S m c = 16 π a 2 .

Đáp án D

Ta có: S A = S C . sin 60 ∘ = a 3 2 , A C = S C . c os 60 ∘ = a 2  

2 A B 2 = A C 2 = a 2 4 ⇒ S A B C D = A B 2 = a 2 8  

Thể tích khối chóp S.ABCD là: V = 1 3 S A . S A B C D = 1 3 . a 3 2 . a 2 8 = a 3 3 48 .  

Chọn B.

Góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là   S B A ^ = 60 o

Ta có: Diện tích đáy:   S A B C D = a 2

Tam giác SAB vuông tại A 

S A = A B . tan S B A ^ = a . tan 60 o = a 3

Thể tích khối chóp S.ABCD là

V = 1 3 . S A B C D . S A = 1 3 a 2 . a 3 = a 3 3 3