Trong không gian với hệ trục toạ độ (Oxyz), cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9, điểm A (0; 0; 2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất là:
A. (P):x+2y+3z+6=0.
B. (P):x+2y+z-2=0.
C. (P):x-2y+z-6=0.
D. (P):3x+2y+2z-4=0.
Chọn B
Mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9 có tâm I (1;2;3), bán kính R=3.
IA = √6 < R nên A nằm trong mặt cầu.
Gọi r là bán kính đường tròn thiết diện, ta có 
Trong đó h là khoảng cách từ I đến (P).
Diện tích thiết diện là
Vậy diện tích hình tròn (C) đạt nhỏ nhất khi h = IA. Khi đó 
là véc tơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) là 1 (x-0)+2 (y-0)+ (z-2)=0 ó x + 2y + z – 2 = 0
Trong không gian với hệ trục toạ độ (Oxyz), cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 9 điểm A(0;0;2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất là
A. ( P ) : x + 2 y + 3 z + 6 = 0
B. ( P ) : x + 2 y + z - 2 = 0
C. ( P ) : x - 2 y + z - 6 = 0
D. ( P ) : 3 x + 2 y + 2 z - 4 = 0
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y - 4 z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v ⇀ = 1 ; 6 ; 2 , vuông góc với mặt phẳng ( α ) : x + 4 y + z - 11 = 0 và tiếp xúc với (S).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y - 4 z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v ⇀ = 1 ; 6 ; 2 , vuông góc với mặt phẳng ( α ) : x + 4 y + z - 11 = 0 và tiếp xúc với (S).
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\) có phương trình \(x^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-2\right)^2=10\) và và đường thẳng \(\Delta\) có phương trình chính tắc là \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{2}\). Gọi \(\left(P\right)\) là mặt phẳng thay đổi chứa \(\Delta\). Khi \(\left(P\right)\cap\left(S\right)\) theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất, hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left(P\right)\) và tính bán kính đường tròn giao tuyến đó.
A. \(\left(P\right):2x-2y+3z+4=0; r=1\)
B. \(\left(P\right):x+y+4z-2=0;r=6\)
C. \(\left(P\right):2x+2y-z+1=0;r=3\)
D. \(\left(P\right):3x-y+2z-1=0;r=4\)
Để tìm phương trình mặt phẳng (P) và tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta cần tìm điểm giao giữa mặt cầu (S) và đường thẳng Δ. Đầu tiên, ta thay đổi phương trình đường thẳng Δ từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số.
Phương trình tham số của đường thẳng Δ là: x = t y = 1 + t z = 1 + 2t
Tiếp theo, ta thay các giá trị x, y, z vào phương trình mặt cầu (S) để tìm điểm giao: (t)2 + (1 + t + 1)2 + (1 + 2t - 2)2 = 10 t2 + (t + 2)2 + (2t - 1)2 = 10 t2 + t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 - 10 = 0 6t2 + 4t - 5 = 0
Giải phương trình trên, ta tìm được t = 1/2 và t = -5/6. Thay t vào phương trình tham số của Δ, ta có các điểm giao là: Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)
Tiếp theo, ta tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm giao này. Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm: (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0
Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)
Thay các giá trị vào công thức, ta có: (x - 1/2)((1/6) - (3/2)) - (y - 3/2)((-5/6) - (1/2)) + (z - 5/2)((-1/6) - (3/2)) = 0 -2x + 2y - z + 4 = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -2x + 2y - z + 4 = 0.
Tiếp theo, để tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P). Khoảng cách này chính bằng bán kính đường tròn giao tuyến.
Đặt điểm A là tâm mặt cầu (x0, y0, z0) = (0, -1, 2). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Thay các giá trị vào công thức, ta có: d = |(0)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) + 4| / sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-1)^2) d = 5 / sqrt(9) d = 5/3
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là 5/3.
Vậy đáp án đúng là: (P): -2x + 2y - z + 4 = 0; r = 5/3
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x - 3 2 = y - 3 2 = z 1 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 4 z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2 ; 1 ; 1 , B 0 ; 3 ; - 1 . MẶt cầu (S) đường kính AB có phương trình là
A. x + 1 2 + y - 1 2 + z + 1 2 = 3
B. x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 3
C. x + 1 2 + y - 1 2 + z + 1 2 = 9
D. x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 2 ) 2 = 9 . Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A ( 1 ; 3 ; 2 ) có phương trình là
A . x + y - 4 = 0
B . y - 3 = 0
C . 3 y - 1 = 0
D . x - 1 = 0
cho mình hỏi vs
câu 1 trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (A) đi qua hai điểm A( 2;-1;0) và có vecto pháp tuyến n (3:5:4)viết phương trình mặt cầu
câu 2 trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(2;-3:7) và đi qua điểm M(-4:0;1) viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x − 1 2 + y − 2 2 + z + 1 2 = 1 , phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) là
A. Q : 4 y + 3 z = 0
B. Q : 4 y + 3 z + 1 = 0
C. Q : 4 y − 3 z + 1 = 0
D. Q : 4 y − 3 z = 0
Đáp án là A.
+ Mặt phẳng chứa Ox có dạng B y + C z = 0
+ Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên:
2 B − C B 2 + C 2 = 1 ⇔ B = 0 B = 4 , C = 3
Vậy mặt phẳng cần tìm 4 y + 3 z = 0
