Lời giải:

$n^3+3n+1\vdots n+1$

$\Rightarrow (n^3+1)+3n\vdots n+1$

$\Rightarrow (n+1)(n^2-n+1)+3(n+1)-3\vdots n+1$

$\Rightarrow (n+1)(n^2-n+4)-3\vdots n+1$

$\Rightarrow 3\vdots n+1$

$\Rightarrow n+1\in \left\{1; 3\right\}$ (do $n+1$ là stn) 

$\Rightarrow n\in \left\{0; 2\right\}$

a: =>4n-2-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;2\right\}\)

b: =>6n-4+11 chia hết cho 3n-2

=>\(3n-2\in\left\{1;-1;11;-11\right\}\)

=>\(n\in\left\{1\right\}\)

a) \(6⋮\left(n-2\right)\Leftrightarrow\left(n-2\right)\inƯ\left(6\right)\)
Có \(Ư\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\)
=>\(\left(n-2\right)\in\left\{1;2;3;6\right\}\)
Ta có bảng:

Vậy \(n\in\left\{3;4;5;8\right\}\)

b) \(\left(n+3\right)⋮\left(n-1\right)\Leftrightarrow\frac{n+3}{n-1}\)là số tự nhiên
Có:\(\frac{n+3}{n-1}=\frac{n-1+4}{n-1}=\frac{n-1}{n-1}+\frac{4}{n-1}=1+\frac{4}{n-1}\)
Vì 1 là số tự nhiên nên:
Để \(\frac{n+3}{n-1}\)là số tự nhiên thì \(\frac{4}{n-1}\)phải là số tự nhiên.
Để \(\frac{4}{n-1}\)là số tự nhiên thì: \(4⋮\left(n-1\right)\)
                                            hay: \(\left(n-1\right)\inƯ\left(4\right)\)
Có \(Ư\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)\in\left\{1;2;4\right\}\)
Ta có bảng:

Vậy \(n\in\left\{2;3;5\right\}\)

c) \(\left(3n-5\right)⋮\left(n+1\right)\Leftrightarrow\frac{3n-5}{n+1}\) là số tự nhiên
Có \(\frac{3n-5}{n+1}=\frac{3n+3-3-5}{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)-8}{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)}{n+1}+\frac{-8}{n+1}=3+\frac{-8}{n+1}\)
Vì 3 là số tự nhiên nên:
Để \(\frac{3n-5}{n+1}\)là số tự nhiên thì \(\frac{-8}{n+1}\)phải là số tự nhiên.
Để \(\frac{-8}{n+1}\)là số tự nhiên thì \(\left(-8\right)⋮\left(n+1\right)\)
                                           hay: \(\left(n+1\right)\inƯ\left(-8\right)\)
Có \(Ư\left(-8\right)=\left\{1;2;4;8\right\}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\in\left\{1;2;4;8\right\}\)
Ta có bảng:

Vậy \(n\in\left\{0;1;3;7\right\}\)

a) 2n+7=n+n+9-2=(n+9)+(n-2)

Vì n-2 chia hết cho n-2 nên n+9 chia hết cho n-2

n+9=(n-2)+11

Vì n-2 chia hết cho n-2 nên 11 chia hết cho n-2

=>Ư(11)={1,11}

+ Nếu n-2=1 thì n=1+2=3

+ Nếu n-2=11 thì n=11+2=13

Vậy n E {3,13}

b) n²+3n+4=nxn+3n+4=n(n+3)+4

Vì n(n+3) chia hết cho n+3 nên 4 chia hết cho n+3

=>Ư(4)={1,2,4}

+Nếu n+3=1 thì n=1-3(không xảy ra vì n E N)

+Nếu n+3=2 thì n=2-3(không xảy ra vì n E N)

+Nếu n+3=4 thì n=4-3=1

Vậy n=1

Ta có: n+3⋮n+1

ta có $n+1⋮n+1$

mà $n+3⋮n+1$

$\Rightarrow n+3-\left(n+1\right)⋮n+1$

$\Rightarrow n+3-n-2$  $⋮n+1$

$\Rightarrow$  $2$  $⋮n+1$

\Rightarrow n+1\in\text{Ư}_{\left(2\right)}=\text{ }\left\{1;2\right\}⇒n+1∈Ư
​(2)= {1;2}

nếu $n+1=1\Rightarrow n=0$ ( thỏa mãn )

nếu $n+1=2\Rightarrow n+1$ ( thỏa mãn )

vậy $n\in \left\{0;1\right\}$

b)Ta có:

4n+ 3⋮⋮ 2n+ 1.

Ta có: 2n+ 1⋮⋮ 2n+ 1.

=> 2( 2n+ 1)⋮⋮ 2n+ 1.

=> 4n+ 2⋮⋮ 2n+ 1.

Mà 4n+ 3⋮⋮ 2n+ 1.

=>( 4n+ 3)-( 4n+ 2)⋮⋮ 2n+ 1.

=> 4n+ 3- 4n- 2⋮⋮ 2n+ 1.

=> 1⋮⋮ 2n+ 1.

=> n= 1.

Vậy n= 1.

 Tick cho mình nha!

Ta có: 3n+2=3n-3+2+3
Vì (n-1) nên 3(n-1) ⋮ (n-1)
Do đó(3n+2) ⋮ (n-1) khi 5 ⋮ (n-1)
=>(n-1)ϵ Ư(5)={-1;-5;1;5}
=>n ϵ {2;6} vì n-1=1=>n=2
                      n-1=5=>n=6
Vậy n={2;6}