Trong không giam Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2 x - y + 2 z + 1 = 0 , đường thẳng d có phương trình x - 1 - 1 = y - 2 = x + 2 2 . Gọi φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tính giá trị cos φ
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 =0 và mặt phẳng ( β) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0
Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của (α) và ( β)
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 =0 và mặt phẳng ( β) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0
Tìm điểm N' là ảnh của N(0; 2; 4) quá phép đối xứng qua đường thẳng d.
N' đối xứng với N qua đường thẳng d nên K là trung điểm của NN'
Vậy N' có tọa độ 
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x - 1 1 = y - 1 = z - 2 1 và mặt phẳng (P): 2x-y-2z+1=0. Đường thẳng nằm trong (P), cắt và vuông góc với d có phương trình là:
Chọn C
Phương trình tham số của 
. Gọi M = d ∩ (P).
Khi đó M ∈ d nên M (1+t;-t;2+t) ; M ∈ (P) nên 2(1 + t) – (- t) – 2 (2 + t) + 1 = 0 ó t = 1.
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M (2;-1;3).
Gọi 
lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là 
.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng lần lượt có phương trình d : x + 3 2 = y + 1 1 = z − 1 , P : x − 3 y + 2 z + 6 = 0 . Phương trình hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng là:
A. x = 1 − 31 t y = 1 + 5 t z = − 2 − 8 t
B. x = 1 + 31 t y = 3 + 5 t z = − 2 − 8 t
C. x = 1 + 31 t y = 1 + 5 t z = 2 − 8 t
D. x = 1 + 31 t y = 1 + 5 t z = − 2 − 8 t
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với có vectơ pháp tuyến
Chọn C
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình x − 3 1 = y − 1 1 = z 2 và mặt cầu (S) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 2 z − 1 = 0 . (P) và (Q) là hai mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo các đường tròn có bán kính bằng 1. Tính cosin của góc giữa (P) và (Q)
A. 5 11
B. 4 6 11
C. 5 33
D. 2 266 33
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình x − 3 1 = y − 1 1 = z 2 và mặt cầu (S) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 2 z − 1 = 0 . (P) và (Q) là hai mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo các đường tròn có bán kính bằng 1. Tính cosin của góc giữa (P) và (Q).
A. 5 11
B. 4 6 11
C. 5 33
D. 2 266 33
Đáp án A
Đường thẳng d đi qua các điểm M 3 ; 1 ; 0 và N 4 ; 2 ; 2
Xét mặt phẳng (P) có phương trình A x + B y + C z + D = 0
(P) đi qua d khi và chỉ khi (P) đi qua M và N
⇔ 3 A + B + D = 0 4 A + 2 B + 2 C + D = 0 ⇒ C = − A + B 2 D = − 3 A − B
Phương trình (P) trở thành
A x + B y − A + B 2 x − 3 A − B = 0
⇔ 2 A x + 2 B y − A + B z − 6 A − 2 B = 0
Mặt cầu (S) có tâm I − 1 ; 1 ; − 1 và bán kính R = 2 .
Giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn có bán kính r=1. Suy ra khoảng cách từ (I) đến (P) là d = R 2 − r 2 = 4 − 1 = 3
Từ đó ta có
− 2 A + 2 B + A + B − 6 A − 2 B 4 A 2 + 4 B 2 + A + B 2 ⇔ − 7 A + B 2 = 3 5 A 2 + 5 B 2 + 2 A B
⇔ 34 A 2 − 20 A B − 14 B 2 = 0 ⇒ 34 A B 2 − 20 A B − 14 = 0 ⇒ A B = 1
hoặc A B = − 7 17
Với A B = 1 ⇒ B = A ta có phương trình (P)
2 A x + 2 A y − 2 A z − 8 A = 0 ⇔ x + y − z − 4 = 0
Với A B = − 7 17 : Chọn A = − 7, B = 17 ta có phương trình (Q): 7 x − 17 y + 5 z − 4 = 0
Gọi α là góc giữa (P) và (Q). Ta có cos α = 1.7 + 1. − 17 − 1.5 1 + 1 + 1 . 49 + 289 + 25 = 5 11 . Ta chọn đáp án A
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (x-2)2 + (y+1)2 + (z-3)2 = 20. Mặt phẳng có phương trình x-2y+2z-1=0 và đường thẳng ∆ có phương trình x 1 = y + 2 2 = z + 4 - 30 . Viết phương trình đường thẳng ∆ ' nằm trong mặt phẳng α vuông góc với ∆ đồng thời cắt (S) theo một dây cung có độ dài lớn nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x = 1 + t y = 2 t z = - 1 và mặt phẳng (P): 2x+y-2z-1=0. Phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d là:
