Xét tám mặt cầu có bán kính bằng 1 và các mặt cầu này đều tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ. Tìm bán kính mặt cầu (S) mà cả tám mặt cầu kể trên đều tiếp xúc trong với (S)
Trong Oxyz xét các mặt cầu bán kính bằng 1 và đều tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng tọa độ. Gọi (S) là mặt cầu tiếp xúc trong với tất cả các mặt cầu trên. Tính bán kính R của (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;-1;1), C(-1;-1;1). Gọi S 1 là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; S 2 và S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (Oyz)?
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Đáp án A
Phương pháp giải:
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng, gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính toán dựa vào điều kiện tiếp xúc
Lời giải:
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): ax+by+cz+d=0
suy ra mp(P)//BC hoặc đi qua trung điểm của BC.
Mà B C → = ( - 4 ; 0 ; 0 ) và mp vuông góc với mp (Oyz) => (P) //BC
Với (P) //BC => a = 0 => by+cz+d=0
suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1 ; 2 ; 1 , B 3 ; − 1 ; 1 , C − 1 ; − 1 ; 1 . Gọi S 1 là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; S 2 và S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (Oyz)?
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1 ; 2 ; 1 , B 3 ; − 1 ; 1 , C − 1 ; − 1 ; 1 . Gọi là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S 2 , S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 ?
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Đáp án B
A B = A C = 13 , B C = 4 , d ( A , B C ) = 3 . Do R 1 = 2 R 2 = 2 R 3 nên các khoảng cách từ A đến (P) gấp đôi khoảng cách từ B,C đến (P). gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua B,C. và P,Q là điểm trên canh AB,AC sao cho A P = 2 B P , A Q = 2 Q C . Bài toán quy về tìm các mp (P) chính là các mặt phẳng đi qua MN,MQ,NP,PQ sao cho d ( A , ( P ) ) = 2
TH1: d ( A , P Q ) = 2 nên chỉ có duy nhất 1 mp (P) qua PQ sao cho d ( A , ( P ) ) = 2
TH2: d ( A ; M N ) , d ( A , M Q ) , d ( A ; N P ) đều lớn hơn 2 nên mỗi TH sẽ có 2 mp qua các cạnh MN,MQ,NP sao cho khoảng cách từ A đến nó bằng 2
Vậy có tất cả 7 mp thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt cầu (S1), (S2), (S3) có bán kính r=1 và lần lượt có tâm là các điểm A(0;3;-1), B(-2;1;-1), C(4;-1;-1). Gọi (S) là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất là
Đáp án D.
Mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên là mặt cầu tiếp xúc ngoài với cả 3 mặt cầu trên. Gọi I là tâm và R là bán kính mặt cầu cần tìm
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt cầu ( S 1 ) , ( S 2 ) , ( S 3 ) có bán kính r=1 và lần lượt có tâm là các điểm A(0;3;-1), B(-2;1;-1), C(4;-1;-1). Gọi (S) là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. R= 10
B. R= 10 - 1
C. R= 2 2 - 1
D. 2 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1 ; 2 ; 1 , B 3 ; − 1 ; 1 và C − 1 ; − 1 ; 1 . Gọi S 1 là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S 2 và S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 ?
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Đáp án B.
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là
P : + b y + c z + d = 0.
Vì d B ; P = d C ; P = 1 suy ra
m p P / / B C hoặc đi qua trung điểm của BC.
Trường hợp 1: với
s u y r a d A ; P = 2 b + c + d b 2 + c 2 = 2
V à d B ; P = − b + c + d b 2 + c 2 = 1 ⇒ 2 b + c + d = 2 − b + c + d − b + c + d = b 2 + c 2 ⇒ 4 b = c + d c + d = 0 − b + c + d = b 2 + c 2
⇔ 3 b = b 2 + c 2 b = b 2 + c 2 ⇔ 8 b 2 = c 2 ⇒ c = ± 2 2 b c = 0 ⇒ d = 0
Suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn.
Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua trùng điểm B C ⇒ P : a x − 1 + b y + 1 + c z − 1 = 0
Do đó d A ; P = 3 b a 2 + b 2 + c 2 = 2 ; d B ; P = 2 a a 2 + b 2 + c 2 = 1
Suy ra 3 b = 4 a 2 a = a 2 + b 2 + c 2 ⇔ 3 b = 4 a 3 a 2 = b 2 + c 2 ( * )
Chọn a =3 suy ra (*)
⇔ b = 4 b 2 + c 2 = 27 ⇔ b = ± 4 c 2 = 11 ⇒ a ; b ; c = 3 ; 4 ; 11 , 3 ; − 4 ; 11 3 ; 4 ; − 11 , 3 ; − 4 ; − 11 .
Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một hình hộp chữ nhật có kích thước 4 × 4 × h cứa một khốhi cầu bán kính bằng 2 và tám khối cầu nhỏ hơn có bán kính bằng 1. Các khối cầu nhỏ đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với ba mặt của hình hộp, khối cầu lớn tiếp xúc với cả tám khối cầu nhỏ (xem hình vẽ). Tìm giá trị của h.
A. 2 + 2 7
B. 3 + 2 5
C. 4 + 2 7
D. 5 + 2 5
Đáp án A.
Bốn tâm của các bi nhỏ cùng với tâm của các bi lớn tạo thành hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 3. Khi đó chiều cao của hình chóp đều này là 7 .
Khoảng cách từ tâm của bi lớn đến đáy của hình hộp là 7 + 1 .
Do đó chiều cao của hình hộp là 2 . 7 + 1 = 2 + 2 7 .
Một hình hộp chữ nhật có kích thước 4 × 4 × h chứa một khối cầu bán kính bằng 2 và tám khối cầu nhỏ hơn có bán kính bằng 1. Các khối cầu nhỏ đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với ba mặt của hình hộp, khối cầu lớn tiếp xúc với cả tám khối cầu nhỏ (xem hình vẽ). Tìm giá trị của h.
A. 2 + 2 7
B. 3 + 2 5
C. 4 + 2 7
D. 5 + 2 5
Đáp án A.
Bốn tâm của các bi nhỏ cùng với tâm của các bi lớn tạo thành hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 3. Khi đó chiều cao của hình chóp đều này là 7 .
Khoảng cách từ tâm của bi lớn đến đáy của hình hộp là 7 + 1 .
Do đó chiều cao của hình hộp là 2. 7 + 1 = 2 + 2 7 .