Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1;2;3) và mặt phẳng
(P): 2x - y - 2z + 12 = 0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi 6 π . Viết phương trình mặt cầu.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2x-y-2z+12=0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 6 π .Viết phương trình mặt cầu
A. ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 8
B. ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 13
C. ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 9
D. ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 12
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y -2z + m = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y -6z - 2= 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Chọn C
(S) có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4
Gọi H là hình chiếu của I lên (P).
(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 1 = 0. Biết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3. Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 13
B. ( x - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 169
C. ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 169
D. ( x + 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 169
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z − 11 = 0 và mặt phẳng α : x + y − z + 3 = 0 . Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng α theo giao tuyến là đường tròn T . Tính chu vi đường tròn T
A. 2 π
B. 4 π
C. 6 π
D. π
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng α : x + y − z + 3 = 0 và mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z − 11 = 0. Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng α theo giao tuyến là đường tròn (T). Tính chu vi đường tròn (T).
A. 2 π
B. 4 π
C. 6 π
D. π
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (1;0;-1) và cắt mặt phẳng (P): 2x+y-2z-16=0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3. Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. (x-1)²+y²+ (z+1)²=25.
B.(x+1)²+y²+ (z-1)²=25
C. (x-1)²+y²+ (z+1)²=9.
D.(x+1)²+y²+ (z-1)²=9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + y - 2z + m = 0 và mặt cầu (S) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 6 z - 2 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4 π 3 .
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Đáp án C
Xét S : x - 1 2 + y + 2 2 + z - 3 2 = 16 có tâm I(1;-2;3), bán kính R = 4
Chu vi đường tròn giao tuyến 4 π 3 = 2 πr ⇔ r = 2 3
Khi đó d I ; P = R 2 - r 2 = 4 2 - 2 3 2 = 2 ⇔ m - 6 3 = 2 ⇒ [ m = 12 m = 0
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; -2; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 3 = 0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2π. Viết phương trình mặt cầu (S).
A. ( S ) : x 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 3
B. ( S ) : x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 1
C . ( S ) : x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 3
D. ( S ) : x 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 2
Chọn C
Ta có h = d(I, (P)) = 1
Gọi (C) là đường tròn giao tuyến có bán kính r.
Vì S = r2.π = 2π <=> r = √2
Mà R2 = r2 + h2 = 3 => R = √3
Vậy phương trình mặt cầu tâm i (0; -2; 1) và bán kính R = √3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2 x - 2 y - z - 9 = 0 và mặt cầu S : x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 100 . Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Tâm của đường tròn giao tuyến đó có tọa độ là
A. (3;2;-1)
B. (-3;2;-1)
C. (3;-2;1)
D. (-3;2;1)
Chọn C.
Phương pháp: Tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu là giao điểm của mặt phẳng đó và đường thẳng đi qua tâm mặt cầu vuông góc với mặt phẳng.
Cách giải: Phương trình đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P) là:
Tọa độ tâm đường tròn giao tuyến thỏa mãn hệ
Chú ý: Bài toán cho vào trường hợp đặc biệt là tâm mặt cầu nằm trên mặt phẳng.