Đáp án B

S I C D = S A B C D − S A I D − S B I C = 3 a 2 − a 2 − a 2 2 = 3 a 2 2 ; C D = 2 a 2 + a 2 = a 5

Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của I lên CD và SK

⇒ I H ⊥ S C D ⇒ I H = d I ; S C D = 3 a 2 4

S Δ I C D = 1 2 I K . C D ⇒ I K = 2 S I C D C D = 3 a 2 a 5 = 3 a 5

1 I H 2 = 1 I K 2 + 1 I S 2 ⇒ 1 I S 2 = 8 9 a 2 − 5 9 a 2 = 1 3 a 2 ⇒ I S = a 3

⇒ V S . A B C D = 1 3 .3 a 2 . a 3 = a 3 3

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

d(M,(NCD))=GMGBd(B,(NCD))=12d(B,(NCD))=12.12d(A,(NCD))=14d(A,(NCD))=14hd(M,(NCD))=GMGBd(B,(NCD))=12d(B,(NCD))=12.12d(A,(NCD))=14d(A,(NCD))=14h 

Tứ diện AEND vuông tại đỉnh A nên 1h2=1AN2+1AE2+1AD2=116a2⇒h=a√66111h2=1AN2+1AE2+1AD2=116a2⇒h=a6611 

Vậy d(M,(NCD))=a√6644.d(M,(NCD))=a6644. 

h=\(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)

Đáp án C

Theo dữ kiện đề bài cho, dễ dàng chứng minh được ΔACD vuông tại cân C và A C = A D 2 = a 2 .

C D ⊥ A C C D ⊥ S A ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S A C ⊥ S C D

Mà S A C ∩ S C D = S C , từ A kẻ A H ⊥ S C . Khi đó d A ; S C D = A H .

Tam giác SAC vuông tại

 A: 1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A C 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 = 3 2 a 2 ⇒ d A ; S C D = A H = a 2 3

Mặt khác: A D ∩ S C D = D  và M là trung điểm AD nên:

d M ; S C D d A ; S C D = M D A D = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C D = a 6 6

Đáp án B

Chọn B

Đáp án B

+ Xác định góc của SC với (SAD).

Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .

∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).

Trong ΔCSE, ta có:

S E   =   C E . tan 60 o   =   a 3   ⇒   S A   =   S E 2 -   A E 2   =   3 a 2   -   a 2   =   a 2 .

Nhận xét

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.

Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra

d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).

Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))

+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).

Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.

CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).

Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).