Đáp án là B

a. Do ABCD là hình thoi có tâm là O nên từ giả thiết ta có :

\(C=\left(-2;0;0\right)\)

\(D=\left(0;-1;0\right)\)

Từ đó M là trung điểm của SC nên :

\(M\left(-1;0=-\sqrt{2}\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;\sqrt{2}\right)\)

Gọi \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SA, MB, ta có :

\(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{SA.}\overrightarrow{BM}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|.\left|\overrightarrow{MB}\right|}=\frac{\left|-2-4\right|}{\sqrt{4+8}.\sqrt{1+2+1}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(\alpha=60^0\)

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau SA, BM ta sử dụng công thức :

\(d\left(SA;BM\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|}\)  (1)

Theo công thức  xác định tọa độ vecto \(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\) ta có :

\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\-1&-1\end{matrix}\right|\right)\)

                  \(=\left(-2\sqrt{2};1;0\right)\)

\(\Rightarrow\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right]\right|=\sqrt{12}\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;0\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{AB}=4\sqrt{2}\)

Thay vào (1) ta có :

\(d\left(SA;BM\right)=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

b. Vì AB \\ mặt phẳng (SDC) nên MN \\ DC. Suy ra N là trung điểm của SD

\(\Rightarrow N=\left(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2}\right)\)

Dễ thấy :

\(V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.BMN}\)

              \(=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{BM}\right].\overrightarrow{SN}\right|+\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right].\overrightarrow{SN}\right|\)    (2)

Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(2;0;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SN}=\left(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SB}=\left(0;1;-2\sqrt{2}\right)\)

         \(\overrightarrow{SM}=\left(-1;0;-\sqrt{2}\right)\)

Ta lại có :

\(\left[\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}0&-2\sqrt{2}\\-1&-2\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&2\\-2\sqrt{2}&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix}\right|\right)\)

                 \(=\left(2\sqrt{2};4\sqrt{2};2\right)\)

\(\left[\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-2\sqrt{2}\\0&\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2\sqrt{2}&0\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right|\right)\)

                 \(=\left(-\sqrt{2};2\sqrt{2};1\right)\)

Thay vào (2) được :

\(V_{S.ABMN}=\frac{1}{6}\left(\left|-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right|+\left|-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right|\right)=\sqrt{2}\)

Chọn đáp án A

Lấy điểm C trong mặt phẳng (ABD) sao cho ABCD là hình chữ nhật

Do vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm 

Cách 2: Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm S.ABCD. Ta có:

Đáp án C

Giả sử  D(a;b;c).Vì ABCD là hình bình hành nên

Diện tích hình bình hành ABCD là

Chọn A

Đáp án C.

Vì ABCD là hình bình hành nên  

Đáp án C

D ( x ; y ; z ) , A B → ( − 2 ; 2 ; − 2 ) , D C → ( − 1 − x ; 3 − y ; 2 − z ) A B → = D C → ⇒ D ( 1 ; 1 ; 4 )

Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3.

Gọi ∆ là đường thẳng qua C và song song với AB.

Gọi (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao điểm của ∆ và (S).

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương A B → - 2 ; 6 ; 3 nên có phương trình:

x = 2 - 2 t y = 3 + 6 t z = 3 + 3 t

Phương trình mặt cầu

S : x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 9 .

Tọa độ điểm D là nghiệm của phương trình

- 2 t - 1 2 + 6 t + 4 2 + 3 t + 5 2 = 9 ⇔ 49 t 2 + 82 t + 33 = 0 ⇔ t = - 1 t = - 33 49 .

Đáp án B

Đáp án C.

Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng d S , P = 2 .

Suy ra thể tích khối chóp đã cho là V = 1 3 . 12 . 2 = 8  .