Cho hình tứ diện ABCD có hai tam giác ΔBCD, ΔACD là hai tam giác đều cạnh a và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện là:
A. a 7 2
B. a 6
C. a 5 6
D. a 15 6
Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. 2 2
B. 2
C. 2 3 3
D. 6 3
Chọn B.
Phương pháp:
Ta xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD chính là điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.
Dựa vào tính chất tam giác cân, hai tam giác bằng nhau, tỉ số lượng giác để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau từ đó tìm được tâm mặt cầu.
Cách giải:
Các tam giác đều ABC và BCD có cạnh 2
⇒ B D = D C = B C = A B = A C = 2
Nên tam giác CAD cân tại C và tam giác BAD cân tại B.
Từ (1) và (2) suy ra tam giác CHB vuông cân tại H có cạnh huyền CB = 2.
Cho tứ diện ABCD có C D = a 2 , Δ A B C là tam giác đều cạnh a, Δ A C D vuông tại A. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABD). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
A . 4 π a 3 3 .
B . π a 3 6 .
C . 4 π a 3 .
D . π a 3 3 2 .
Chọn A
Coi như a =1. Tam giác ACD vuông tại A nên A D = C D 2 - A C 2 = 1 = A B ⇒ Δ A B D cân tại A và tam giác ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD và DC. Ta có A H ⊥ ( B C D ) và C D ⊥ A E . Hơn nữa C D ⊥ A H ⇒ C D ⊥ ( A H E ) ⇒ C D ⊥ H E mà HE song song với BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ta có A I . A H = A E 2 ⇒ A I = A E 2 A H . Ta có
A E = 1 2 C D = 2 2 , H K = 1 2 B C = 1 2 ⇒ A H = 1 2
Vậy A I = A E 2 A H = 1 ⇒ R = 1 ⇒ V m c = 4 3 π
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhai. Biết tam giác ABC đêì cạnh a, tam giá BCD vuông cân tại D. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
A . a 2 3
B . a 3 3
C . 2 a 3 3
D . a 3 2
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, O A = O B = 2 a , A O B ^ = 120 ° . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. 3 a 2 2
B a 2 3
C. 5 a 2 2
D. 5 a 2 3
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O , O A = O B = 2 a , A O B ^ = 120 ° . Trên đường thẳng vuông góc với măt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D , nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. 3 a 2 2
B. a 2 3
C. 5 a 2 2
D. 5 a 2 3
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, OA=OB=2a, A O B ⏜ = 120 0 . Trên đường thẳng vuông góc với măt phẳng (P)tại O lấy hai điểm C, D, nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 o . Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC)trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC
A. R = a 3 9
B. R = 2 a 3 3
C. R = a 3 3
D. R = a 3 6
Gọi F là trung điểm của AA’. Trong mặt phẳng (AA'H) kẻ đường trung trực của AA’ cắt d tại I. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC và bán kính R = IA
Ta có: A E I ^ = 60 o , E F = 1 6 A A ' = a 6
I F = E F . tan 60 o = a 3 6 R = A F 2 + F I 2 = a 3 3
Đáp án C
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 ∘ . Biết hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cân với góc B A C ⏜ = 120 0 , AB=AC=a. Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là V = a 3 16