Ta có khối bát diện đều ABCDEF, cạnh a. Do MN // (DEBF) nên giao của mặt phẳng (OMN) với mặt phẳng (DEBF) là đường thẳng qua O và song song với MN

Ta nhận thấy đường thẳng này cắt DE và BF tại các trung điểm P và S tương ứng của chúng. Do mặt phẳng (ADE) song song với mặt phẳng (BCF) nên (OMN) cắt (BCF) theo giao tuyến qua S và song song với NP. Dễ thấy giao tuyến này cắt FC tại trung điểm R của nó. Tương tự (OMN) cắt DC tại trung điểm Q của nó. Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi hình bát diện đã cho với mặt phẳng (OMN) là lục giác đều có cạnh bằng \(\dfrac{a}{2}\)

Do đó diện tích của nó bằng \(\dfrac{3\sqrt{3}}{8}a^2\)

Phương pháp:

Khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh xuất phát từ đỉnh A và F của hình bát diện đều ABCDEF (như hình vẽ) là hình hộp chữ nhật.

Cách giải:

Khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh xuất phát từ đỉnh A và F của hình bát diện đều ABCDEF là hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh  a 2 ;

Đáp án C.

+ (ABD) và (IMK) có điểm chung là k và lần lượt chứa hai đường thẳng AB // MI

 =>Giao tuyến của (ABD) và (IMK) là đường thẳng đi qua K và song song với AB  và AD tại E =>Thiết diện cần tìm là tứ giác MKEI có M I / / K E M I > K E  (1)

+ Δ B M K = Δ A I E ⇒ I E = M K  (2)

Từ (1) và (2) =>Tứ giác MKEI là hình thang cân với đáy lớn là MI

+ Có   E K = 1 3 ; A B = a 3 ; M I = a 2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên MI =>2IH + EK = IM =>  I H = a 12

I E = A I 2 + A E 2 − 2 A I . A E . c o s 60 ° = a 13 6 ⇒ E H = 13 a 2 36 − a 2 144 = a 51 12

S I M K E = 1 2 E K + I M . E H = 5 a 2 51 144  

Đáp án C.

+ (ABD) và (IMK) có điểm chung là k và lần lượt chứa hai đường thẳng AB // MI

=> Giao tuyến của (ABD) và (IMK) là đường thẳng đi qua K và song song với AB  và AD tại E Thiết diện cần tìm là tứ giác MKEI có 

Từ (1) và (2) => Tứ giác MKEI là hình thang cân với đáy lớn là MI

+ Có 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên MI 2IH + EK = IM