1: AM+MB=AB

BN+NC=BC

CP+PD=CD

QD+QA=AD

mà AB=BC=CD=AD và AM=BN=CP=QD

nên BM=CN=PD=QA

2: Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có

MA=NB

AQ=BM

Do đó: ΔMAQ=ΔNBM

=>MQ=MN(1)

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có

MB=NC

BN=CP

Do đó: ΔMBN=ΔNCP

=>MN=NP(2)

Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có

NC=PD

CP=DQ

Do đó: ΔNCP=ΔPDQ

=>NP=PQ(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MQ=MN=NP=PQ

ΔMAQ=ΔNBM

=>\(\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}\)

mà \(\widehat{BNM}+\widehat{BMN}=90^0\)(ΔBMN vuông tại B)

nên \(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0\)

\(\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{NMB}=180^0\)

=>\(90^0+\widehat{QMN}=180^0\)

=>\(\widehat{QMN}=90^0\)

Xét tứ giác MNPQ có

MN=NP=PQ=MQ

nên MNPQ là hình thoi

Hình thoi MNPQ có \(\widehat{QMN}=90^0\)

nên MNPQ là hình vuông

Dễ mà.

4 tam giác vuông bằng nhau ( c- g-c)

=> 4 cạnh huyền = nhau

+ Mặt khác Trong 1 tam giác vuông có 2 góc nhọn phụ nhau

 => EKPQ có 1 góc vuông

KL: Hình vuông

marian đề đúng đấy

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

Suy ra: EB = KC = PD = QA

* Xét ΔAEQ và ΔBKE,ta có:

AE = BK (gt)

∠ (EAQ) =  ∠ (KBE) = 90 0

QA = EB (chứng minh trên)

Suy ra: △ AEQ =  △ BKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)

* Xét  △ BKEvà  △ CPK,ta có: BK = CP (gt)

              ∠ (KBE) =  ∠ (PCK) = 90 0

             EB = KC ( chứng minh trên)

Suy ra:  △ BKE =  △ CPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)

* Xét  △ CPK và  △ DQP,ta có: CP = DQ (gt)

              ∠ C = ∠ D =  90 0

             DP = CK ( chứng minh trên)

Suy ra:  △ CPK =  △ DQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ

Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.

Mặt khác:  △ AEQ =  △ BKE

⇒  ∠ (AQE) =  ∠ (BEK)

Mà  ∠ (AQE) +  ∠ (AEQ) =  90 0

⇒  ∠ (BEK) +  ∠ (AEQ) =  90 0

Ta có:  ∠ (BEK) +  ∠ (QEK) +  ∠ (AEQ ) =  180 0

Suy ra:  ∠ (QEK ) =  180 0  -(  ∠ (BEK ) +  ∠ (AEQ) )=  180 0  -  90 0  =  90 0

Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.

AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

Suy ra: EB = KC = PD = QA

- Xét ∆ AEQ và ∆ BKE :

AE = BK (gt)

ˆ
A
=
ˆ
B
=
90
0
A^=B^=900

QA = EB (chứng minh trên)

Do đó: ∆ AEQ = ∆ BKE (c.g.c) ⇒ EK = EQ (1)

- Xét ∆ BKE và ∆ CPK :

BK = CP (gt)

ˆ
B
=
ˆ
C
=
90
0
B^=C^=900

EB = KC (chứng minh trên)

Do đó: ∆ BKE = ∆ CPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)

Xét ∆ CPK và ∆ DQP :

CP = DQ (gt)

ˆ
C
=
ˆ
D
=
90
0
C^=D^=900

DP = CK (chứng minh trên)

Do đó: ∆ CPK = ∆ DQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ

Tứ giác EKPQ là hình thoi.

a) Chứng minh được MBPD và BNDQ đều là hình bình hành Þ ĐPCM.

b) Áp dụng định lý Talet đảo cho DABD và DBAC tacos MQ//BD và MN//AC.

Mà ABCD là hình thoi nên AC ^ BD Þ MQ ^ MN

MNPQ là hình chữ nhật vì có các góc ở đỉnh là góc vuông