Đáp án: C.

Tập xác định: D = R. y' = 3 x 2  - 6x + m.

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên R

⇔ 3 x 2  - 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' = 9 - 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' = m - 1 2  + (m + 3) =  m 2  - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức  ∆ ' =  m 2  - m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m  ∈  R

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' = ( m - 1 ) 2  + (m + 3) = m 2  - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức Δ' =  m 2  - m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ = 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Đáp án: D.

y' = 3 x 2  - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔  x 2  - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

Δ' = ( m - 1 ) 2  + m + 1 = m 2  - m + 2 ≥ 0

Tam thức m 2  - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Đáp án: D.

y' = 3 x 2 - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔  x 2  - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

∆ ' = m - 1 2  + m + 1 =  m 2 - m + 2 ≥ 0

Tam thức  m 2  - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Ta có:

\(y'=x^2-2mx+m^2-4\)

\(y''=2x-2m,\forall x\in R\)

Để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\) đạt cực đại tại x = 3 thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(3\right)=0\\y''\left(3\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+5=0\\6-2m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1,m=5\\m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=5\)

=> B.

Lời giải + diễn giải

để hàm có cực trị f'(x) phải có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm

a) \(y'=3x^2-6x+m\)

xét f(x)= 3x^2 -6x+m

để f(x) là hàm bậc 2 => có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm đk cần và đủ \(\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m>0\Rightarrow m< 3\)

Kết luận với m< 3 hàm A(x) luôn có cực trị

b)

\(y'=3x^2+4mx+m\)

\(\Delta'=4m^2-3m>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

c)

\(y=\dfrac{x^2-2mx+5}{x-m}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne m\\y=\left(x-m\right)+\dfrac{5-m^2}{x-m}\end{matrix}\right.\)

\(y'=1+\dfrac{m^2-5}{\left(x-m\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+m^2-5=0\Rightarrow5-m^2>0\Rightarrow-\sqrt{5}< m< \sqrt{5}\)