Đáp án D

- Công thức tính diện tích và chu vi hình tròn: S = π R 2 , C = 2 π R .

- Công thức tính diện tích và chu vi hình vuông: S = a 2 , C = 4 a .

 Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vuông là  mét thì chiều dài đoạn uốn thành hình tròn là 1 − x  mét.

Cạnh hình vuông là   x 4 nên diện tích hình vuông là  x 2 16 .

Bán kính hình tròn là 1 − x 2 π  nên diện tích hình tròn là  π . 1 − x 2 π 2 = 1 − x 2 4 π .

Xét hàm f x = x 2 16 + 1 − x 2 4 π  có   f ' x = x 8 + x − 1 2 π = 0 ⇔ x = 4 π + 4 .

Do đó  f x   đạt GTNN tại  x = 4 π + 4 ⇒ 1 − x = 1 − 4 π + 4 = π π + 4 .

Vậy tỉ số đoạn thứ nhất và đoạn thứ hai là  π π + 4 : 4 π + 4 = π 4 .

Chọn đáp án C

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x (m) thì độ dài cạnh tam giác đều là 2x (m).

Chiều dài phần dây được uống thành hình vuông (chính là chu vi hình vuông) là 4x (m); chiều dài phần dây được uốn thành tam giác đều (chính là chu vi hình tam giác đều) là 6x(m) .

Suy ra chiều dài phần dây được uốn thành hình tròn là L - 4 x - 6 x = L - 10 x ( m )

Từ đó ta có x ∈ 0 ; L 10  

Gọi r là bán kính của đường tròn thì chu vi đường tròn là

Tổng diện tích của ba hình là

Xét hàm số

trên 0 ; L 10  

Ta có

Lập bảng biến thiên ta thấy

Vậy tổng diện tích của ba hình thu được nhỏ nhất khi x = 5 L 2 25 + 1 + 3 π

suy ra độ dài cạnh của tam giác đều là  2 x = 5 L 25 + 1 + 3 π

Đáp án C

Cắt sợi dây 6 mét đã cho thành hai phần có độ dài lần luột là x mét và 6-x mét 0 < x < 6 . Phần thứ nhất có độ dài x mét được uốn thành hình tam giác đều cạnh bằng x 3  mét. Phần thứ hai có độ dài 6-x mét được uốn thành hình vuông cạnh bằng 6 − x 4  mét.

Diện tích phần I là S 1 = x 3 2 . 3 4 = x 2 3 36 m 2 .

Diện tích phần II là S 2 = 6 − x 4 2 m 2 .

Tổng diện tích hai phần là S x = S 1 + S 2 = x 2 3 36 + 6 − x 4 2 m 2  với  x ∈ 0 ; 6

Đạo hàm  S ' x = x 3 18 − 6 − x 8 ;     S ' x = 0 ⇔ x = 54 9 + 4 3 ∈ 0 ; 6   . Lập bảng biến thiên của hàm số  S x    trên khoảng 0 ; 6 , ta thấy  min S x = S 54 9 + 4 3   .

Khi đó cạnh của tam giác đều bằng  18 9 + 4 3 m   .

Từ giả thiết suy ra x + y = 10

Diện tích hình chữ nhật là 

Diện tích tam giác là 

Yêu cầu bài toán: 

Suy ra y = 5

Vậy có duy nhất một bộ số (x;y) = (5;5) thỏa mãn

Chọn B.

helppp