2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ 2 cát tuyến vuông góc MAM' và NAN' (M,N thuộc (O); M',N' thuộc (O')).
Chứng miinh MM'^2+NN'^2 không thay đổi khi cát tuyến vuông góc đã cho quay quanh A
cho (O,R) và (O',R') cắt nhau tại A . KẺ cát tuyến MAM', NAN' quay quanh A và vuông góc với nhau.
Chứng minh \(MM'^2+NN'^2\) ko đổi
Cho đường tròn (O;R), điểm M cố định nằm ngoài (O). Kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O)(A,B là tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD bất kì không đi qua (O)(C nằm giữa M và D ). Gọi K là trung điểm của CD.
a, Chứng minh 5 điểm M,A,O,K,B cùng thuộc 1 đường tròn
b, Chứng minh MC.MD không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MCD
c, Gọi E là giao điểm của tia BK với đường tròn (O). Chứng minh AE song song với MK
a: ΔOCD cân tại O có OK là đường trung tuyến
nên OK vuông góc CD
góc OKM=góc OAM=góc OBM=90 độ
=>O,K,M,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
b: Xét ΔMAC và ΔMDA có
góc MAC=góc MDA=1/2sđ cung AC
góc AMC chung
=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA
=>MA/MD=MC/MA
=>MA^2=MD*MC
=>MD*MC ko phụ thuộc vào cát tuyến MCD
Cho (O;R) điểm M cố định nằm ngoài (O) cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B .Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C
a) Chứng minh: tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K
b)Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M
Cho (O;R) và A nằm ngoài đường tròn và OA=2R. 1 cát tuyến d quay quanh A và cắt (O;R) tại E và F. Tiếp tuyến tại E và F cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: K luôn thuộc 1 đường cố định.
Cho (O;R) M cố định ngoài đường tròn, cát tuyến qua M cắt (O) tại A;B. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau ở C
a) Chứng minh tứ giác ACBO nội tiếp đường tròn tâm K
b) (K) luôn đi qua 2 điểm cố định là O và Hkhi cát tuyến quay quanh M
c)CH cắt AB tại N, I là trung điểm của AB. CM MA.MB=MI.MN
d)chứng minh IM. IN=IA^2
Bài 2:
cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , trên BC lấ M và N sao cho góc MAB=góc NAC, P và Q theo thứ tự là giao của AM và AN với đường tròn. CM AB+AC=AP+AQ
Cho đường tròn (O,R) và một điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A , lấy một điểm k cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O, cắt (O) tại hai điểm B và C (B nằm giữa K và C). Gọi M là trung điểm của BC. 1)CMR 4 điểm A,O,M,K cùng nằm trên một đường tròn ,2)CMR KA bình phương =KB.KC=KO bình phương - R bình phương
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC ko đi qua tâm O (điểm B nằm giữa 2 điểm M và C) gọi H là trung điểm của BC đường thẳng OH cắt (O;R) tại hai điểm N,K ( trong đó điểm K thuộc cung BAC. Gọi D là giao điểm của AN và BC).CM a) tứ giác AKHD là tứ giác nội tiếp b) góc NAB =góc NBD và NB^2 = NA ND
a: góc KAN=1/2*180=90 độ
ΔOBC cân tại O
mà OH là trung tuyến
nên OH vuông góc BC
góc KAD+góc KHD=180 độ
=>KADH nội tiếp
b: Xét ΔNCB có
NH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
=>ΔNCB cân tại N
=>góc NBC=góc NCB=góc NAB
=>góc NAB=góc NBD
mà góc ABN chung
nên ΔNAB đồng dạng với ΔNBD
=>NB^2=NA*ND
Cho đường tròn O; R và điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với O tại A lấy một điểm K cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O, cắt O tại hai điểm B và C (B nằm giữa C và K). Gọi M là trung điểm của BC. a). Chứng minh bốn điểm A,O,M,K cùng thuộc một đường tròn. b). Vẽ đường kính AN của đường tròn 0 . Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt MN tại H . Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành. c). Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC. d). Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện của đề bài, điểm H di động trên đường
a: ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM\(\perp\)BC tại M
Xét tứ giác KAOM có
\(\widehat{OAK}+\widehat{OMK}=90^0+90^0=180^0\)
=>KAOM là tứ giác nội tiếp
=>K,A,O,M cùng thuộc một đường tròn
b: AH\(\perp\)BC
OM\(\perp\)BC
Do đó: AH//OM
Xét ΔNAH có
O là trung điểm của NA
OM//AH
Do đó: M là trung điểm của NH
Xét tứ giác BHCN có
M là trung điểm chung của BC và HN
=>BHCN là hình bình hành
c: Xét (O) có
ΔACN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔACN vuông tại C
=>CN\(\perp\)CA
BHCN là hình bình hành
=>BH//CN
Ta có: BH//CN
CN\(\perp\)CA
Do đó: BH\(\perp\)AC
Xét ΔABC có
BH,AH là các đường cao
BH cắt AH tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
