Theo định lý Vi-et ta có: phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì: 

Ta sử dụng một trong hai biểu thức trên để tìm nghiệm còn lại.

Ở bài giải dưới đây ta sẽ sử dụng điều kiện: 

(Các bạn có thể làm cách 2 sử dụng điều kiện  ).

Ta có:  x 1 . x 2 = c a

x2 - 2mx + m - 1 = 0 (1)

Vì x1 = 2 là một nghiệm của pt (1) nên:

22 - 2m.2 + m - 1 = 0

⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0

⇔ 3- 3m = 0

⇔ m = 1

Khi m = 1 ta có: x1.x2 = m - 1 (hệ thức Vi-ét)

⇔ 2.x2 = 0 (vì x1 = 2 và m = 1)

⇔ x2 = 0

a) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=\dfrac{1}{2}\) ta có : \(x_2=\dfrac{2}{3}-x_1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}\)

b) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{7}{2}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{-39}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=-3\) ta có : \(x_2=\dfrac{7}{2}-x_1=\dfrac{7}{2}-\left(-3\right)=\dfrac{13}{2}\)

c) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1\cdot x_2=-2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=-\sqrt{2}\) ta có : \(x_2=-1-x_1=-1-\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\)

d) Thay \(x_1=2\) vào pt ta có

\(2^2-2m\cdot2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow4-4m+m-1=0\\ \Leftrightarrow3-3m=0\\ \Leftrightarrow-3m=-3\\ \Leftrightarrow m=1\)

Vì pt \(x^2-2mx+m-1=0\) có nghiệm theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=2\) ta có :

\(x_2=2m-x_1=2\cdot1-2=0\)

m x 2  + (2m – 1)x + m + 2 = 0 (1)

*Nếu m = 0, ta có (1) ⇔ -x + 2 = 0 ⇔ x = 2

*Nếu m ≠ 0 thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0

Ta có :  ∆  = 2 m - 1 2 – 4m(m + 2) = 4 m 2  – 4m + 1 – 4 m 2  – 8m

= -12m + 1

∆   ≥  0 ⇔ -12m + 1  ≥  0 ⇔ m ≤ 1/12

Vậy khi m  ≤  1/12 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (1) theo m :

2 x 2  – (4m + 3)x + 2 m 2  – 1 = 0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0

Ta có:  ∆  = - 4 m + 3 2  – 4.2(2 m 2  – 1)

= 16 m 2  + 24m + 9 – 16 m 2  + 8 = 24m + 17

∆   ≥  0 ⇔ 24m + 17  ≥  0 ⇔ m  ≥  -17/24

Vậy khi m  ≥  -17/24 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (2) theo m:

a. Thay x =-3 vào vế trái của phương trình , ta có:

3.(-3)2+2(-3) -21 =27 – 6 -21 =0

Vậy =-3 là nghiệm của phương trình 3x2 +2x -21 =0

Theo hệ thức vi-ét ta có : x1x2 = c/a = -21/3 = -7 ⇒ x2 = -7/x1 = -7/-3 = 7/3

Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3

b. Thay x =5 vào vế trái của phương trình ,ta có:

-4.52 -3.5 +115 =-100 -15 +115 =0

Vậy x=5 là nghiệm của phương trình -4x2 -3x +115=0

Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1x2 = c/a = 115/-4 ⇒ 5x2 = -115/4 ⇒ x2 = -23/4

Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4