+ BC = BH + HC = 25 + 36 = 61 (cm)

+ ΔABH vuông tại H và ΔABC vuông tại A có:

⇒AB2=BH.BC=25.(25+36)=1525

Gọi độ dài hình chiếu thứ nhất là x

=>Độ dài hình chiếu thứ 2 là x+14

Theo đề, ta có: x^2+14x=24^2=576

=>x^2+14x-576=0

=>x=18

=>Độ dai cạnh huyền là 18+18+14=50cm

\(a=\sqrt{18\cdot50}=30\left(cm\right)\)

\(b=\sqrt{32\cdot50}=40\left(cm\right)\)

S=1/2*30*40=15*40=600cm²

Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao

Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu ta có:

A H 2  = HB.HC = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6 (cm)

Vậy DE = 6 (cm)

a, Xét tam giác AHB vuông tại H, đường cao MH 

\(AH^2=AM.AB\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN 

\(AH^2=AN.AC\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra : \(AM.AB=AN.AC\)(3) 

b, Xét tam giác AMN và tam giác ACB ta có : 

^A _ chung 

\(\left(3\right)\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Vậy tam giác AMN ~ tam giác ACB ( c.g.c )

\(\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}\)(4) 

Ta có : BC = HB + HC = 9 + 4 = 13 cm 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=HC.BC=9.13=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\)cm 

Theo định lí Pytago : \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{169-\left(3\sqrt{13}\right)^2}=2\sqrt{13}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{2\sqrt{13}.3\sqrt{13}}{13}=6\)cm 

lại có : \(AH^2=AM.AB\)cma => \(AM=\frac{36}{2\sqrt{13}}=\frac{18\sqrt{13}}{13}\)cm 

Thay vào (4) ta được : \(\frac{MN}{13}=\frac{\frac{18\sqrt{13}}{13}}{3\sqrt{13}}=6\)cm 

c, Lại có : \(AH^2=AN.AC\)cma => \(AN=\frac{36}{3\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{13}}{13}\)cm 

Ta có : \(S_{AMN}=\frac{1}{2}AN.AM=\frac{1}{2}.\frac{12\sqrt{13}}{13}.\frac{18\sqrt{13}}{13}=\frac{108}{13}\)cm ²

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{13}.3\sqrt{13}=39\)cm ²

Do \(S_{AMN}+S_{BMNC}=S_{ABC}\Rightarrow S_{BMNC}=S_{ABC}-S_{AMN}\)

\(=39-\frac{108}{13}=\frac{399}{13}\)cm²

Theo chứng minh trên, ta có:

DM = MH = 1/2 BH = 1/2.4 = 2(cm)

EN = NH = 1/2 CH = 1/2.9 = 4,5(cm)

DE = AH = 6(cm)

DENM là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:

S D E N M  = 1/2(DM + EN)DE = 1/2.(2+4,5).6 = 19,5( c m 2 ).

giúp em với ạ.Em cảm ơn nhiềuu

b: Ta có: BC=BH+HC

nên BC=4+9

hay BC=13cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\sqrt{13}cm\\AC=3\sqrt{13}cm\end{matrix}\right.\)

Xét ΔBAC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

\(\cos\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{2}\)

\(\cot\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}\)