-Xét △OAB có: P trung điểm OA, Q trung điểm OB (gt)

\(\Rightarrow\)PQ là đường trung bình của △OAB.

\(\Rightarrow\)PQ=\(\dfrac{1}{2}\)AB.

\(\Rightarrow\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

-Xét △OAC có: P trung điểm OA, R trung điểm OC (gt)

\(\Rightarrow\)PR là đường trung bình của △OAC.

\(\Rightarrow\)PR=\(\dfrac{1}{2}\)AC.

\(\Rightarrow\dfrac{PR}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

-Xét △OBC có: R trung điểm OC, Q trung điểm OB (gt)

\(\Rightarrow\)RQ là đường trung bình của △OBC.

\(\Rightarrow\)RQ=\(\dfrac{1}{2}\)BC.

\(\Rightarrow\dfrac{RQ}{BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

-Xét △PQR và △ABC có: \(\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{PR}{AC}=\dfrac{QR}{BC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\)△PQR ∼ △ABC (c-c-c)

* Trong △ AOB ta có:

P trung điểm của OA (gt)

Q trung điếm của OB (gt)

Suy ra PQ là đường trung bình của △ AOB

Suy ra: PQ = 1/2 AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (1)

* Trong  △ OAC, ta có:

P trung điểm của OA (gt)

R trung điểm của OC (gt)

Suy ra PR là đường trung bình của tam giác OAC.

Suy ra: PR =1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (2)

* Trong  △ OBC, ta có:

Q trung điểm của OB (gt)

R trung điểm của OC (gt)

Suy ra QR là đường trung bình của tam giác OBC

Suy ra: QR = 1/2 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

Vậy  △ PQR đồng dạng  △ ABC (c.c.c)

Gọi p’ là chu vi tam giác PQR.

Tacó: 

Vậy: 

Theo giả thiết D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA nên DE, EF, FD là các đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có:

DE = 1/2 AC,EF = 1/2 AB,FD = 1/2 BC (1)

Mặt khác, M là trung điểm của OA, P là trung điểm của OB, Q là trung điểm của OC, xét các tam giác OAB, OBC, OCA, ta cũng có:

MP = 1/2 AB,PQ = 1/2 BC, QM = 1/2 AC. (2)

Từ đẳng thức (1) và (2), ta suy ra :

DE = QM, EF = MP, FD = PQ.

Do đó ta có: 

Vậy △ DEF đồng dạng  △ QMP theo tỉ số đồng dạng k = 1, trong đó D, E, F lần lượt tương ứng với các đỉnh Q, M, P.