\(\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{NC}+2\overrightarrow{CD}\Rightarrow\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DC}\Rightarrow\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{CD}\)

a.

\(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\\\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=-2\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\right)=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow{BD}\)

Không có điểm M thỏa mãn.

 Chọn C

Dễ dàng thấy ngay rằng các đoạn QM, PN, QP, MN là đường trung bình của các tam giác ADB, CDB, ADC, ABC.

Vậy thì QM song song và bằng PN hay tứ giác MNPQ là hình bình hành.

+) Để hình bình hành MNPQ là hình bình chữ nhật thì \(QM\perp MN\Leftrightarrow AC\perp BD\Leftrightarrow\) Hình bình hành ABCD là hình thoi.

+) Để hình bình hành MNPQ là hình bình thoi thì QM = MN hay AC = BD \(\Leftrightarrow\) Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

+) Để hình bình hành MNPQ là hình vuông thì nó phải là hình chữ nhật và hình thoi, hay hình bình hành ABCD cũng là hình chữ nhật và hình thoi. Nói cách khác, ABCD phải là hình vuông.

Vì ABCD là hình bình hành => AB//CD mà AM thuộc AB; CN thuộc CD => AM//CN

Mà AM=CN

=> AMCN là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hình bình hành)

=> AC và MN là đường chéo của hbh AMCN

Gọi O là giao của AC và MN => O là trung điểm của AC và MN (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

A cố định C cố định => O cố định => MN luôn đi qua O cố định

Đáp án C

Đáp án C