a) AM là trung tuyến (gt). => M là trung điểm của BC.

=> BM = MC =  \(\dfrac{1}{2}\) BC.

Xét tứ giác AMBN:

I là trung điểm của AB (gt).

I là trung điểm của NM (N là điểm đối xứng với M qua I).

=> Tứ giác AMBN là hình bình hành (dhnb). 

=> AN = BM và AN // BM (Tính chất hình bình hành).

Mà BM = MC (cmt).

=> AN = MC.

Xét tứ giác ANMC:

AN = MC (cmt).

AN // MC (AN // BM).

=> Tứ giác ANMC là hình bình hành (dhnb).

b) Xét tam giác ABC vuông tại A: 

AM là trung tuyến (gt).

=> AM = \(\dfrac{1}{2}\) BC (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Mà BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\) BC (cmt).

=> AM = BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\) BC.

Xét hình bình hành AMBN: AM = BM (cmt).

=> Tứ giác AMBN là hình thoi (dhnb).

c) Tứ giác ANMC là hình bình hành (cmt).

=> NM = AC (Tính chất hình bình hành).

Mà AC = 6 cm (gt).

=> NM = AC = 6 cm.

\(S_{AMBN}=\dfrac{1}{2}.AB.NM=\dfrac{1}{2}.4.6=12\left(cm^2\right).\)

d) Tứ giác AMBN là hình vuông (gt).

=> \(\widehat{AMB}=90^o\) (Tính chất hình vuông).

=> \(AM\perp BC.\)

Xét tam giác ABC vuông tại A:

AM là trung tuyến (gt).

AM là đường cao \(\left(AM\perp BC\right).\)

=> Tam giác vuông ABC vuông cân tại A.

a,Ta co : AM=MB

Va : DN=NC 

Ma AB=DC => AM=DN

Va AB//DC=>AM//DN

=>AMND la HBH

Ta lai co : AB=2AD

Hay AD=1/AB

=>AD=AM

Mà trong hình bình hành AMND co AM=AD

Thi AMND là hình thoi 

Giải:

a) Ta có AM=MB và EM=MD ( đối xứng ) =>AEBD là hình bình hành

mà góc D = 90 (độ) => AEBD là hình chữ nhật

b) từ câu a =>AE//DC ; mà DC=DB (AD là đường cao của tam giác cân ABC =>là AD cũng đường trung tuyến) 

=>ACDE là hình bình hành

c) để tứ giác AEBD là hình vuông thì:

như câu a thì AEBD là hình chữ nhật =>điều hiện là:AD=BD mà AD=BD =>tam giác ABC phải là tam giác vuông cân

d) S tam giác ABC= AD.BD/2 = AD.BD    1

   S hình chữ nhật ABDE= AD.BD             2

​Từ 1 và 2 =>S tam giác ABC = S hình chữ nhật ABDE (đpcm)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

a) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: DM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DM//AC và \(DM=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈AC và \(AE=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)

nên DM//AE và DM=AE

Xét tứ giác ADME có 

DM//AE(cmt)

DM=AE(cmt)

Do đó: ADME là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Khi ΔABC cân tại A thì AB=AC

mà \(AD=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

và \(AE=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)

nên AD=AE

Hình bình hành ADME có AD=AE(cmt)

nên ADME là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Vậy: Khi ΔABC cân tại A thì ADME là hình thoi

c) Khi ΔABC vuông tại A thì \(\widehat{A}=90^0\)

Hình bình hành ADME có \(\widehat{A}=90^0\)(cmt)

nên ADME là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Vậy: Khi ΔABC vuông tại A thì ADME là hình chữ nhật

d) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10cm

Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay \(AM=\dfrac{10}{2}=5cm\)

Vậy: Khi ΔABC vuông tại A thì AM=5cm