k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2).[(k+3)-(k-1)]=4k(k+1)(k+2)

=>đpcm

nguyen thieu cong thanh làm đúng rùi. ****

ko bt lm

4S=1*2*3*4+2*3*4(5-1)+......+k*(k+1)(k+2)[(k+3)(k-1)]

tự chứng minh tiếp nhé

=k(k+1)(k+2-k+1)

= k(k+1)x3

=3k(k+1)(dpcm)

đúng k pạn...? hihi

Đề là gì, bạn ghi mình không hiểu gì cả  !

Vế trái = \(k\cdot\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\cdot k\left(k+1\right)=k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\right]\)

\(=k\left(k+1\right)\left(k+2-k+1\right)=3k\left(k+1\right)\) = Vế phải 

bn viet đề ntn ấy

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3 . k . (k + 1)

k . (k + 1) . [(k + 2) - (k - 1)]

= k . (K + 1) . 3 = 3 . k . (K + 1) => ĐPCM 

Ta có k(k+1)(k+2) là tích 3 stn nên chia hết cho 6 

         k(k-1)(k+1) là tích 3 stn nên chia hết cho 6

do đó VT chia hết cho 6

xét vế phải  k(k+1) chia hết cho 2 mà nhân thêm 3 nên sẽ chia hết cho 6

VP chia hết cho 6

Do đó với mọi k thuộc N ta luôn có được nghiệm của bài 

1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)

\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)

\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)

\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)

\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)

Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm