Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{a+1}=\frac{a}{a+b+a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{b}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}\right);\frac{c}{c+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{1}{4}\)

Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bn áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào Q rồi bn tính được lần lượt các số a,b,c

=>ta tính được Q

Đặt A là biểu thức cần CM 

ví dụ Từ ĐK a + b + c = 3 => a² + b² + c² ≥ 3 ( Tự chứng minh ) 

Áp dụng BĐT quen thuộc x² + y² ≥ 2xy 

a^4 + b² ≥ 2a²b (1) 
b^4 + c² ≥ 2b²c (2) 
c^4 + a² ≥ 2c²a (3) 
 

tiếp đi bạn huy

Ê mình đâu cho a+b+c=3

Ta có \(\frac{1}{a+b+1}=\left(1-\frac{1}{b+c+1}\right)+\left(1-\frac{1}{a+c+1}\right)=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{a+c}{a+c+1}\)

                                                                                                                   \(\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}}\)

Tương tự \(\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+c+1\right)}}\)

                 \(\frac{1}{a+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\)

Nhân 3 bđt trên ta có:

\(\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}\ge\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}\)

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\le\frac{1}{8}\)

MaxA=1/8 khi a=b=c=1/4

trả lời lẹ cho tui cấy

Trước hết với các số dương x;y ta luôn có:

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(C=\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}\)

\(C\le\frac{xyz}{xyz+xy\left(x+y\right)}+\frac{xyz}{xyz+yz\left(y+z\right)}+\frac{xyz}{xyz+zx\left(z+x\right)}\)

\(C\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Ta có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng ta có 

\(a+b\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

=> \(a+b+1\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\)

Khi đó

\(A\le\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{abc}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)}=1\)

MaxA=1

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1