a, ko có số n thỏa mãn

b, n^2+2006 là hợp số với n là số nguyên tố lớn hơn 3

a)Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên) 
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006 
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên) 
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1) 
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2) 
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn 
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên) 
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006 
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4) 
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.

a)Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên) 
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006 
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên) 
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1) 
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2) 
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn 
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên) 
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006 
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4) 
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.

n la so nguyen to lon hon 3 nen ko chia het cho 3.

Vay n^2 chia cho 3 du 1 <=> n^2=3k+1

Do do : n^2+2006=3k+1+2006 =3k+2007 chia het cho 3 

Vay n^2+2006 la hop so 

**** nhe 

Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k\(\varepsilon\) N*) và n²+2006 luôn lớn hơn 3

TH1: Với n = 3k+2, ta có : n²+2006 = (3k+1)²+2006 = 9k²+ 6k + 2007 = 3 ( 3K²  +2k + 669) luôn chia hết cho 3 với mọi k\(\in\) N* \(\Rightarrow\) n²+2006 là hợp số

TH2: Với n = 3k+2, ta có: n²+ 2006 = (3k+2)²+2006 = 9k²+ 12k + 2010 = 3 ( 3k² + 4k + 670) luôn chia hết cho 3 với mọi k\(\varepsilon\) N*\(\Rightarrow\) n²+2006 là hợp số

Vậy n²+2006 là hợp số với n là số nguyên tố lớn hơn 3

Hop số , ủng hộ mk nha

  n là số nguyên tố lớn hơn 3 

Suy ra n không vhia hết cho 3 

Suy ra n chia cho 3 dư 1 hoặc n chia cho 3 dư 2

* Nếu n : 3 dư 1 

Suy ra n² : 3 dư 1 

* Nếu n : 3 dư 2 

Suy ra n² : 3 dư 1 

Suy ra n² : 3 dư 1 với mọi n là số nguyên tố lớn hơn 3 

Suy ra n² = 3k + 1 ( k thuộc N ; k lớn hon hoặc bằng )

Ta có n² + 2006

        = 3k + 1 +2006

         = 3k + 2007

vì 3k chia hết cho 3 

     2007 chia hết cho 3 

Suy ra n² + 2006 chia hết cho 3 

Suy ra n² + 2006 là hợp số

a)giả sử \(n^2+2006\) là số chính phương, khi đó đặt \(n^2+2006=a^2\left(n\in Z\right)\)

\(=>\left(a+n\right)\left(a-n\right)=2006\) (*)

TH1: nếu (a-n) và (a+n) khác tính chẵn lẻ thì (*) sai  

TH2: nếu (a-n) và (a+n) cùng tính chẵn lẻ thì (a-n) chia hết cho 2, (a+n) chia hết cho 2 => VT chia hết cho 4

mà VP =2006 không chia hết cho 4 nên không tồn tại n

b) n là số nguyên tố >3 nên n không chia hết cho 3=> n= 3k+1 hoặc n=3k+2

Với n= 3k+1 thì \(n^2+2006=\left(3k+1\right)^2+2006=9k^2+6k+2007\) chia hết cho 3=> \(n^2+2006\) là hợp số

Với n=3k+2 thì \(n^2+2006=\left(3k+2\right)^2+2006=9k^2+12k+2010\) chia hết cho 3=> \(n^2+2006\) là hợp số

n² là hợp số vì nó chia hết cho n ( n²=n.n đương nhiên chia hết cho n) và n>1 ( nếu=1 thì vẫn có thể nguyên tố)

vi n la so nguyen to lon hon 3 nen n khong chia het cho 3

=> n= 3k+1 hoac 3k+2(k thuoc N*)

 - Xet n=3k+1 thi n²+2006 =(3k+1)²+2006

                                       =9k²+1+2006

                                       =9k²+2007

                                       =3(3k²+669)

=>n²+2006 co it nhat 3 uoc la 1 ;3va chinh no nen n²+2006 la hop so           (1)

- Xet n=3k+2 thi n²+2006=(3k+2)²+2006

                                     =9k²+4+2006

                                     = 9k²+2010

                                     = 3(3k²+670)

=>n² co it nhat 3 uoc la 1;3 va chinh no  nen n²+2006 la hop so              (2)

tu (1) va (2) => n²+2006 la hop so 

n la so nguyen to lon hon 3

- neu n=5 thi n²+2006=2031(la so nguyen to.loai)

- neu n= 7 thi n²+2006=2055(la hop so ,chon)

- neu n>7 thi n khong chia het cho 7 

=>n= 7k+1; 7k+2 ; 7k+3 ; 7k+4 ; 7k+4 ; 7k+5 hoac 7k+6

- xet n=7k+1 thi n²+2006=(7k+1)²+2006 

                                    =49k²+1+2006

                                    =49k²+2007

vi 49k² va 2007 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to (loai)

 - xet n=7k+2 thi n²+2006=(7k+2)²+2006

                                     = 49k²+4+2006

                                    = 49k²+2010

vi 49k² va 2010 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to (loai)

- xet n=7k+3 thi n²+2006= (7k+3)²+2006

                                    = 49k²+9+2006

                                    = 49k²+2015

vi 49k² va 2015 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

- xet n=7k+4 thi n²+2006=(7k+4)²+2006

                                    = 49k² + 16+2006 

                                   = 49k²+2022

vi 49k² va 2022 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

- xet n=7k+5 thi n²+2006 =(7k+5)²+2006

                                     = 49k²+25+2006

                                     = 49k² +2031

vi 49k² va 2031 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

- xet n=7k+6 thi n²+2006 =(7k+6)²+2006

                                     =49k²+36+2006

                                     =49k²+2042

vi 49k² va 2042 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

=>n>7 bi loai 

=> n=7

vay n=7 va n²+2006 la hop so

Do p là số nguyên tố mà p < 3

\(\Rightarrow p=2\) Khi đó : \(2p+1=5\) là số nguyên tố

Do đó   \(4p+1=4.2+1=9\) là hợp số.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p sẽ có 2 dạng đó là : 3k + 1 và 3k + 2

Ta có 2 trường hợp :

* TH1 : p = 3k + 1 

\(\Rightarrow\)2p + 1 = 2 . ( 3k + 1 ) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3 . ( 2k + 1 ) là hợp số 

\(\Rightarrow\)Trường hợp này bị loại vì theo đề bài 2p + 1 phải là nguyên tố .

* TH2 : p = 3k + 2

\(\Rightarrow\)2p + 1 = 2 . ( 3k + 2 ) + 1 = 6k + 4 + 5 = 6k + 5 là số nguyên tố .

\(\Rightarrow\)Trường hợp này được chọn vì đúng theo yêu cầu đề bài .

\(\Rightarrow\)4p + 1 = 4 . ( 3k + 2 ) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3 . ( 4k + 3 ) là hợp số .

         Vậy 4p + 1 là hợp số ( đpcm )