\(n^5-n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮10\)

\(\Rightarrow n^5,n\) co chữ xô tận cùng giông nhau

Hai số có chữ số tận cùng giống nhau nên ta sẽ đi CM: n^5 - n chia hết cho 10
Dễ thấy n^5 và n cùng tính chất chẵn lẻ nên n^5 -n chia hết cho 2 (1) 
Ta có: n^5 - n = n(n+1)(n-1)(n²+1) 
= n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) + 5n(n-1)(n+1) 
Số hạng cuối thì chia hết cho 5 còn số hạng đầu là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên cũng chia hết cho 5 => n^5-n chia hết cho 5 (2) 
Từ (1), (2) và do 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau ta sẽ có đpcm!

 A = n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2 +1)(n^2 -1) =n(n^2 +1)(n+1)(n-1) 
* n(n +1) chia hết cho 2 => A chia hết cho 2. 

*cm: A chia hết cho 5. 
n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5. 
n không chia hết cho 5 => n = 5k + r (với r =1,2,3,4) 
- r = 1 => n - 1 = 5k chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
- r = 2 => n^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
- r = 3 => n^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
- r = 4 => n +1 = 5k + 5 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
=> A luôn chia hết cho 5 
2,5 nguyên tố cùng nhau => A chia hết cho 2.5=10 => A tận cùng là 0 
=> đpcm

Nói trước mình copy
n^5-n=n(n^4-1)=n(n²-1)(n²-4+5) 
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1) (a) 
*Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tíc 5 số tự nhiên ltiếp nên chia hết cho 2,5 nên chia hết cho 10 
( vì (2,5)=1) (b) 
*Vì (n-1)n(n+1) là tích 3 số nguyên ltiếp nên chia hết cho 2 =>5(n-1)n(n+1) chia hết cho 10 (c) 
Từ (a),(b),(c)=>n^5-n chia hết cho 10 nên n^5 và n có cùng dư khi chia cho 10 
Đặt dư là r(r thuộc N,0≤r≤9) ta có:n^5=10k+r,n=10h+r đều có tận cùng là r (đpcm) 

A = n^5 ‐ n = n﴾n^4‐1﴿ = n﴾n^2 +1﴿﴾n^2 ‐1﴿ =n﴾n^2 +1﴿﴾n+1﴿﴾n‐1﴿

* n﴾n +1﴿ chia hết cho 2 => A chia hết cho 2.

*cm: A chia hết cho 5. n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5.

n không chia hết cho 5 => n = 5k + r ﴾với r =1,2,3,4﴿

‐ r = 1 => n ‐ 1 = 5k chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

‐ r = 2 => n^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

‐ r = 3 => n^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

‐ r = 4 => n +1 = 5k + 5 chia hết cho 5

=> A chia hết cho 5

=> A luôn chia hết cho 5

2,5 nguyên tố cùng nhau

=> A chia hết cho 2.5=10

=> A tận cùng là 0

mà A=n^5-n

nên n^5 và n phải có chữ số tận cùng giống nhau

=>dpcm

Coi chữ số tận cùng của n là h

Với n lẻ :

\(n^5=n^4.n=\left(...1\right).n=\left(..1\right)\left(...a\right)=\left(...a\right)\)

Tương tự với n chẵn :

\(n^5=n^4.n=\left(...6\right).n=\left(..6\right)\left(...a\right)=\left(...a\right)\)

Vậy ...

Không hiểu nổi @trần thùy dung CTV viết cái gì nữa:

\(A=n^5-n\)

 A chia hết cho 5 với mọi n thuộc N (*)

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)=> A chia hết cho 2 (**)

(*)&(**)=> A chia hết cho 10=> A tận cùng là 0 vậy n^5 và n có số tận cùng = nhau=> dpcm

p/s: (*) nếu cần có thể c/m nhưng nó thuộc t/c do vậy ko cần c/m nữa

Ta có:

n⁵ - n = n(n⁴ - 1)

= n(n² - 1)(n² - 4 + 5)

= n(n² - 1)(n² - 4) + 5n(n² - 1)

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)

Ta thấy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ đồng thời chia hết cho 2 và cho 5. Hay là (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) sẽ chia hết cho 10 (1)

Ta lại co (n - 1)n(n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n - 1)n(n + 1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) => n⁵ - n chia hết cho 10 hay là co tận cùng là 0.

Vậy n⁵ và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.

Lay 4 chu so thi dong du voi 10000  

5^1994=5^2*(5^4)^498  

5^4=625 dong du 625 mod 10000  

625^2=390625 dong du 625 mod 10000  

=>625^n luon dong du 625 mod 10000  

=>(5^4)^498 dong du 625 mod 10000  

=>(5^2)*(5^4)^498 dong du (5^2)*625 mod 10000  

hay la 5^1994 dong du 15625 mod 10000

 Vay 4 chu so tan cung cua 5^1994 la 5625 

​kết luận chữ số tận cũg có 4 chữ số

ngu tất

làm cách khác đi

                        Giải

Ta có:n⁵ - n = n(n⁴ - 1)

= n(n² - 1)(n² - 4 + 5)

= n(n² - 1)(n² - 4) + 5n(n² - 1)

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)

Ta thấy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ đồng thời chia hết cho 2 và cho 5. Hay là (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) sẽ chia hết cho 10 (1)

Ta lại co (n - 1)n(n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n - 1)n(n + 1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) => n⁵ - n chia hết cho 10 hay là co tận cùng là 0.

Vậy n⁵ và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.\(\left(đpcm\right)\)

Nếu n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau

⇒n5−n⋮10⇒n5−n⋮10

Ta có:

n5−nn5−n

=n(n4−1)=n(n4−1)

=n(n2−1)(n2+1)=n(n2−1)(n2+1)

=n(n−1)(n+1)(n2−4+5)=n(n−1)(n+1)(n2−4+5)

=n(n−1)(n+1)(n2−4)+5n(n−1)(n+1)=n(n−1)(n+1)(n2−4)+5n(n−1)(n+1)

=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)

Vì n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp

⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5

Vì n(n−1)n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮2⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮2

⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮10(1)⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮10(1)

Ta có: 5n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮55n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5

Vì n(n−1)n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

⇒5n(n−1)(n+1)⋮2⇒5n(n−1)(n+1)⋮2

⇒5n(n−1)(n+1)⋮10(2)⇒5n(n−1)(n+1)⋮10(2)

Từ (1) và (2) suy ra

n(n+1)(n−1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)⋮10n(n+1)(n−1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)⋮10

⇒n5−n⋮10⇒n5−n⋮10

Vậy n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau

hok tốt

Ta có: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Ta thấy (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là 5 số tự nhiên liên tiếp đồng thời chia hết cho 2 và 5

hay (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 10 (1)
Ta lại có: (n-1)n(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n-1)(n+1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1)(2) => \(n^5-n\)chia hết cho 10 hay có chữ số tận cùng là 0

=> đpcm