Ta có: \(x^2+y^2+z^2=1\)

\(\Rightarrow x\le1,y\le1,z\le1\)

\(\Rightarrow x-1\le0,y-1\le0,z-1\le0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\le0,y^2\left(y-1\right)\le0,z^2\left(z-1\right)\le0\) 

(vì \(x^2,y^2,z^2\ge0\))

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)\le0\).

hay \(x^3+y^3+z^3\le x^2+y^2+z^2=1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2\left(x-1\right)=0\\y^2\left(y-1\right)=0\\z^2\left(z-1\right)=0\end{matrix}\right.\) và \(x^2+y^2+z^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị.

Mặt khác theo giả thiết: \(x^3+y^3+z^3=1\).

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị.

\(\Rightarrow xyz=0\)

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM 

x=1 khi y=2 thì z=3 khi z=3 thi x=2

ap dung bdt co si ta co:

\(xy+yz+xz>=3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\)

=>\(100>3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

=>\(\frac{100}{3}>=\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\)

=>\(\sqrt{\frac{100^3}{3^3}}>=xyz\)

=>\(\frac{1000}{3\sqrt{3}}>=xyz\)

=>\(Amax=\frac{1000}{3\sqrt{3}}\)

xay ra dau bang khi va chi khi x=y=z\(\frac{10}{\sqrt{3}}\)