mk bt lm rồi ạ!

Vì n và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1) \(⋮\)2 \(\Rightarrow\)n(n+1)(2n+1) \(⋮\)2 \(\forall\)    n \(\in\)  N         (1)

+) Nếu n \(⋮\)3 thì n(n+1)(2n+1) \(⋮\)3

+) Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 \(\Rightarrow\)2n + 1 \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)n(n+1)(2n+1) \(⋮\)3

+) Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)n(n+1)(2n+1) \(⋮\)3

\(\Rightarrow\)n(n+1)(2n+1) \(⋮\)3 \(\forall\)n \(\in\)N

\(\Rightarrow\)(đpcm)

n(n+1)(n+2)

ta thấy n,n+1,n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

=> có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

Đặt A = n . ( n + 1 ) . ( n + 2 )

Ta có n là số tự nhiên => n, n+1, n+2 là ba số tự nhiên liên tiếp mà trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chẵn nên A \(⋮\)2

Vì n, n+1, n+2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên khi chia cho 3 sẽ có ba số dư khác nhau là 0, 1, 2 suy ra A \(⋮\)3

Vì A chia hết cho cả 2 và 3 => A chia hết cho 6

Vậy A chia hết cho 6 ( dpcm )

                    Bài giải

\(n\left(n^2+5\right)=n^3+5n\)

Nếu n lẻ thì : \(n^3+5n=\text{ lẻ }+\text{ lẻ }=\text{ chẵn }⋮\text{ }2\)

Nếu n chẵn thì : \(n^3+5n=\text{ chẵn }+\text{ chẵn }=\text{ chẵn }⋮\text{ }2\)

\(\Rightarrow\text{ }n\left(n^2+5\right)\text{ }⋮\text{ }2\)

n(n+1) chia hết cho 2

=> A =n(n+1) +1 chia  cho 2 dư 1

=> A không  chia hết cho 4

A= n(n+1) +1 không thể chia hết cho 4

Vì n(n+1) luôn chia hêt cho 2 => A =n(n+1) +1 chia cho 2 dư 1 => A không thể chia hết cho 4

Gọi\(ƯCLN\left(2n+3,n+1\right)=a\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮a\\n+1⋮a\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮a\\2n+2⋮a\end{cases}}\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮a\)\(\Rightarrow1⋮a\Rightarrow a=1\RightarrowƯCLN\left(2n+3,n+1\right)=1\left(đpcm\right)\)

Gọi ƯC(2n + 3,n + 1) là d

Ta có: 2n + 3 ⋮ d

          n + 1 ⋮ d => 2(n + 1) ⋮ d => 2n + 2 ⋮ d

=> 2n + 3 - (2n + 2) ⋮ d

=> 2n + 3 - 2n - 2 ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d \(\in\)Ư(1)

=> d \(\in\){1}

=> ƯC(2n + 3,n + 1) = {1}

=> ƯCLN(2n + 3,n + 1) = 1

=> 2n + 3 và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau