Cho a, b, c la do dai ba canh cua mot tam giac . Chung minh rang :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a+b+c}\)
a) Goi a,b,c la do dai ba canh cua mot tam giac thoa man a3 + b3 + c3 = 3abc. Chung minh do la tam giac deu
b) Cho x y z duong va x+y+z = 1. Chung minh \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\)
Từ a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + c3 - 3abc = 0
<=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b) - 3abc = 0
<=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2) - 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
<=> a = b = c
=> tam giác đó là tam giác đều
b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
CM đúng (tự cm tđ)
Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3
a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0
Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0
<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0
Xét TH còn lại ta có :
a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0
<=> 2(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 2.0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ac + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0 (*)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )
b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)( do GT x + y + z = 1 )
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3
cho a,b,c la ba canh cua tam giac.
Chung minh :\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c la do dai 3 canh cua 1 tam giac . Tim gia tri nho nhat cua P = \(\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
cho tam giac ABC co do dai 3 canh la a, b, c va chu vi tam giac la 2p
Chung minh rang: \(\frac{p}{p-a}\)+ \(\frac{p}{p-b}\)+ \(\frac{p}{p-c}\)>= 9
ta có: \(a+b+c=2p\Rightarrow2p-a-b-c=0\)
mặt khác ta có: \(\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}=p\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\)
\(=\left(p-a+p-b+p-c\right)\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\) (*)
( vì \(2p-a-b-c=0\))
Đặt : \(p-a=x\left(x>0\right);p-b=y\left(y>0\right);p-c=z\left(z>0\right)\)
=>(*)<=>\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
mà \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\) (tự chứng minh)
nên \(\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}\ge9\) =>đpcm
1.a) \(\frac{3}{4}\)x -- \(\frac{1}{3}\)= \(\frac{2}{3}\)x -- \(\frac{3}{5}\)
b) \(\frac{\left(-5\right)^{32}.20^{43}}{\left(-8\right)^{29}.125^{25}}\)
c) \(\left(\frac{1}{2}-x\right)^2\)= \(\left(-2\right)^2\)
2. Tim do dai 2 canh cua 1 hinh chu nhat ,biet ti so giua cac canh cua no bang 0,6 va chu vi bang 32cm .
3. Cho a = \(^{8^{12}.25^{19}}\). Tim so chu so cua a .
4. Cho tam giac ABC vuong tai A . Tia phan giac cua goc B cat canh AC tai D
a) Cho biet \(\widehat{ABC}\)= 400 . Tinh so do goc ABD
b) Tren canh BC lay diem E sao cho BE = BA . Chung minh tam giac BAD = tam giac BED va DE _|_ BC
c) Goi F la giao diem cua BA va ED . Chung minh rang tam giac ABC = tam giac EBF
d) Ve CK vuong goc voi BD tai K . Chung minh rang ba diem K , F , C thang hang .
Goi a,b,c la 3 do dai cua 3 canh trong tam giac. Va biet (a+b)(b+c)(a+c)=8abc .Chung minh rang tam giac da cho la tam giac deu
Tam giac ABC co chu vi bang 1, ba canh a,b,c thoa man dang thuc
\(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}\)
Chung minh tam giac ABC deu
Tam giác ABC có ba cạnh a,b,c và có chu vi bằng 1
=> \(a+b+c=1\)
=> \(\hept{\begin{cases}b+c=1-a\\a+c=1-b\\a+b=1-c\end{cases}}\)
Do đó ta viết lại đề bài thành \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{3}{2}\)
Ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Thật vậy, ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)
\(=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}\right)+\left(\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{a+c}\right)+\left(\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\right)-3\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(\ge\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}-3\)( bất đẳng thức Cauchy )
\(=\frac{1}{2}\cdot9-3=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
=> Tam giác ABC đều ( đpcm )
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x\\a+c=y\\a+b=z\end{cases}}\)Với (x,y,z>0) và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Ta có \(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Với x = y = z thì \(a=b=c\)
=> \(\Delta ABC\) đều
dấu bằng xảy ra ở tam giác ABC là a = b = c = 1/3 nhé ;-;
còn bđt kia thì với mọi a,b,c dương *)
cho a,b,c la do dai 3 canh cua mot tam giac thoa man dieu kien \(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
chung minh a,b,c la 3 canh cua mot tam giac deu
cho a;b;c la do dai 3 canh cua 1 tam giac . c/m voi moi x;y;z:
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}>\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\)