hỏi j khó vậy
Sửa VP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( cái này bạn tự chứng minh nhé ) ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
TT : \(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+c-b+b+c-a}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Cộng theo vế ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
Sử dụng liên tiếp 2 lần bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{a+b-c+b+c-a}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)
Bằng phương pháp chứng minh tương tự ta thu được :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được : \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(< =>2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(< =>\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác nên \(a;b;c>0\)
Đặt \(\left\{a+b-c;b+c-a;c+a-b\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)( theo bđt tam giác thì x;y;z > 0 )
Khi đó : \(\hept{\begin{cases}\frac{x+z}{2}=\frac{a+b-c+c+a-b}{2}=\frac{2a}{2}=a\\\frac{x+y}{2}=\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\\\frac{y+z}{2}=\frac{b+c-a+c+a-b}{2}=\frac{2c}{2}=c\end{cases}}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh quy về : Cho \(x,y,z>0\). Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số thực dương ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}};x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(x+y\right)\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}.2\sqrt{xy}\)
\(< =>\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(x+y\right)\ge\frac{4}{\sqrt{xy}}.\sqrt{xy}=4< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Bằng phương pháp chứng minh tương tự ta thu được :\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z};\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{z+x}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\)
\(< =>2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\right)\)\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z< =>a=b=c\)
Done !
