Bài giải

Gọi \(AH ∩ BC=D,AK∩ BC=E\)

Xét \(\Delta ABD\) có BH là phân giác \(\widehat{ABD}\), \(AH\perp BH\)\(\Rightarrow\) \(BH\perp AD\)

\(\Rightarrow\text{ }\Delta ABD\) cân tại B \(\Rightarrow\text{ }BA=BD\text{, }H\) là trung điểm AD

Tương tự \(CA=CE\) , K là trung điểm AE

\(\Rightarrow\)HK là đường trung bình

\(\Rightarrow\text{ }HK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\left(DB+BC+CE\right)=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right)=\frac{1}{2}V_{\Delta ABC}\)

\(\Rightarrow\text{ ĐPCM}\)

Gọi 2 tia phân giác ngoài của đỉnh B và C lần lượt là F và E

Gọi giao của AB với HK là G, của AC với HK là M

Gọi giao của BC với AK và AH lần lượt là N và O

Xét tam giác ABO 

Có BH là đường cao (BH vuông góc với AO)

BH là phân giác của góc ABO 

suy ra tam giác ABO cân tại B (dhnb tam giác cân)

suy ra BH là trung tuyến của tam giác ABO (t/c tam giác cân)

hay H là trung điểm AO

CM tương tự với tam giác ACN

suy ra Ck là trung tuyến của tam giác ACN(t/c)

hay K là trung điểm AN

Xét tam giác AON 

có K là trung điểm AN
H là trung điểm AO

suy ra HK//ON

hay GM//BC và MK//CN

Xét tam giác ACN 

có K là trung điểm AN

MK//CN

suy ra AM=MC( t/c đường trung bình tam giác)

Xét tam giác ABC có

AM=MC 

GM//BC 

suy ra GM=1/2 BC và AG=GB (t/c đường trung bình tam giác)

Xét tam giác vuông AHB

có HG là trung tuyến (AG=GB)

AB là cạnh huyền

suy ra HG=1/2 AB (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Cm tương tự với tam giác ACK

suy ra MK=1/2 AC

Có HG+GM+MK=1/2AB+1/2BC+1/2AC

mà AB+AC+BC là chu vi tam giác ABC

suy ra HK =1/2 chu vi tam giác ABC

2 truong hop nhu nhau ma.

TH1 neu AE=CH,BE=AH

Ap dung dinh li py ta go ta co

Do AEB la tam giac vuong

=> AB²=AE²+BE²⁽¹⁾

Do AHC la tam giac vuong

=> AC²=AH²+HC²(2)

Ma AE=CH,BE=AH(3) 

Từ 1 2 3 => AB=AC

Th 2: AE=AH,BE=CH lam tt

Bạn tự cm tứ giác AEBF và tứ giác AHCK là hcn nhe 

Gọi N, G lần lượt là giao điểm của AH, AK với BC.
Xét ∆ABN có BH là đường cao cũng là phân giác nên là tam giác cân do đó BH cũng là trung tuyến

=> HN = HA

Tương tự: AK = KG
∆ANG có HN = HA và AK = KG nên HK là đường trung bình của tam giác

=> HK // HG hay HK // BC (đpcm)