1) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

⇔H là trung điểm của BC

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(cmt)

nên \(AH=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(BH=\frac{BC}{2}\)(H là trung điểm của BC)

nên AH=BH

Xét tứ giác AHBE có

M là trung điểm của đường chéo AB(gt)

M là trung điểm của đường chéo EH(E và H đối xứng nhau qua M)

Do đó: AHBE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AHBE có \(\widehat{AHB}=90^0\)(AH⊥BC)

nên AHBE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Hình chữ nhật AHBE có AH=BH(cmt)

nên AHBE là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)

2) Xét ΔABC có

H là trung điểm của BC(cmt)

M là trung điểm của AB(gt)

Do đó: HM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của ΔABC)

⇒HM//AC và \(HM=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈MH(gt) và \(HM=\frac{HE}{2}\)(H và E đối xứng nhau qua M)

nên HE//AC và HE=AC

Xét tứ giác AEHC có HE//AC(cmt) và HE=AC(cmt)

nên AEHC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

3) Ta có: AEHC là hình bình hành(cmt)

nên AEHC là hình thang có hai đáy là EA và HC

Xét hình thang AEHC(EA//HC) có

M là trung điểm của EH(E và H đối xứng nhau qua M)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của hình thang AEHC(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒MN//EA//HC và \(MN=\frac{EA+HC}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)

Ta có: AEHC là hình bình hành(cmt)

⇔Hai đường chéo AH và EC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)

mà AH cắt EC tại O(gt)

nên O là trung điểm của EC

Xét ΔECA có

O là trung điểm của EC(cmt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: ON là đường trung bình của ΔECA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒ON//EA và \(ON=\frac{EA}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: MN//EA(cmt)

mà ON//EA(cmt)

và MN và ON có điểm chung là N

nên M,O,N thẳng hàng(đpcm)

a)ta có I là trung điểm của AC ( gt)

          I là trung điểm của MK(K dối xứng với M qua I)

=>AMCK là hình bình hành 

xét tam giác ABC cân tại A có 

AM là trung tuyến của tam giác ABC

=>AM cũng là đường cao của tam giác ABC

=>góc AMC =90⁰

mà AMCK là hình bình hành =>AMCK là hình chữ nhật

b)ta có :KA=CM(AMCK là hình chữ nhật)

mà CM=MB nên KA=MB

Xét tam giác AMK vuông tại A và tam giác MAB vuông tại M

AM : cạnh chung

KA=MB(chứng minh trên)

Suy ra tam giác AMK=tam giác MAB(cgv-cgv)

=>góc AMK=góc BAM (2 góc tương ứng )

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên:

AB song song MK

ta lại có AB=KM(tam giác AMK=tam giác MAB)

=>AKMB là hình bình hành

c)ta có AMCK là hình vuông 

=>AM=CM

mà CM=BM(AM là trung tuyến của tam giác ABC)

nên AM=\(\frac{CM+BM}{2}+\frac{BC}{2}\)

=>tam giác ABC vuông cân tại A

Vậy tam giác ABC cần có thêm điều kiện là cân tại A thì AMCK là hình vuông

chứng minh tứ giác là hình thoi đi các bạn ^_^

hiếu đz

BẠN TỰ VẼ HÌNH NHÉ MÌNH GIẢI THÔI NHA ^^
 

                      Giải
a) Xét tam giác ODE, có:
    IK là đường trung bình(I t/điểm OD và K trung điểm OE)
    =>IK // DE
    Vậy:IKED là hình thang

b) Ta có IAKO là hcn (A=AIO=AKO=90 độ)
    =>AK=IO và AK // IO. 
    Mà D,I,O thẳng hàng và DI=IO (D đxứng O qua I)
    =>AK//DI và AK=DI
    =>AKDI là hbh.
c)Ta có tam giác ABC có góc A=90 độ và Góc C=30 độ
   =>góc B=60 độ
   Và tam giác ABC vuông ở A và AM là đường trung tuyến
   => AM =1/2 BC  =>AM=BM
   =>Tam giác ABM cân ở M. Và Góc B= 60độ (cmt) 
   => Tam giác ABM đều => AB=AM=BM
   Vậy chu vi tam giác ABC= 3 x 7=21 (cm)