\(x=3\sqrt{3}-2\Leftrightarrow x+2=3\sqrt{3}\Rightarrow\left(x+2\right)^2=\left(3\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4=27\Leftrightarrow x^2+4x-23=0\)

Vậy \(f\left(x\right)=x^2+4x-23\)là một đa thức thỏa mãn ycbt. 

Bậc nhỏ nhất của đa thức \(P\left(x\right)\)là \(3.2=6\).

\(x=\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2}\right)^3=2\)

\(\Leftrightarrow x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-2\sqrt{2}=2\)

\(\Leftrightarrow x^3+6x-2=3\sqrt{2}x^2+2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+6x-2\right)^2=2\left(3x^2+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^6+36x^2+4+12x^4-24x-4x^3=18x^4+24x^2+8\)

\(\Leftrightarrow x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4=0\)

\(P\left(x\right)=x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4\)

Nếu đa thức trên có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm có có dạng \(\frac{p}{q}\)với \(p\)là ước của \(-4\)và \(q\)là ước của \(1\).

Nên có thể là các giá trị \(\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}\). 

Ta thử các giá trị trên đều thấy không phải là nghiệm của \(P\left(x\right)\).

Do đó đa thức đó không có nghiệm hữu tỉ. 

Ta có:

\(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

nên  \(x^2=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2=5+2\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow\) \(\left(x^2-5\right)^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4-10x^2+25=24\)

hay   \(x^4-10x^2+1=0\)

Đa thức  \(a^4-10a^2+1=0\)  là đa thức hệ số nguyên (bậc dương nhỏ nhất) nhận số \(x\)  làm nghiệm