tự vẽ hình nhé.

a.Vì tam giác DEF cân => DE = DF => 1/2DE = 1/2DF => DN = DM

tam giác DEM và tam giác DFN : DE = DF gt

                                                 góc D chung

                                                 DM = DN cmt

=> tam giác DEM = tam giác DFN (c.g.c) 

=> EM = FN (c.t.ư)

     góc DEM = góc DFN (g.t.ư)

b.  Vì góc DEM = góc DFN (cmt)

         góc DEF = góc DFE ( suy từ gt )

=> DEF - DEM = DFE - DFN => KEF = KFE 

=> tam giác KEF cân

=>KE = KF

c.Tam giác DKE và tam giác DKF: DE = DF (gt)

                                                   DK chung

                                                   KE = KF (cmt)

=> tam giác DKE = tam giác DKF (c.c.c)

=> góc EDK = FDK

=> DK là phân giác góc EDF

Kéo dài DK và cắt EF tại H'

tam giác DH'E và tam giác DH'F: DE = DF
                                                EDH' = FDH'

                                                DH' chung

=>tam giác DH'E = tam giác DH'F

=> H'E= H'F(c.t.ư)

=> H và H' trùng nhau 

=> DK đi qua H

a) tam giác ABC có I là trung điểm AB; M là trung điểm BC nên IM là đường trung bình của tam giác ABC

=> IM// AC; IM=1/2 AC hay IM=AK

Tứ giác AIKM có IM//AK; IM=AK nên tứ giác AIKM là hình bình hành.

lại có Góc A bằng 90 độ, vậy AIKM là hình chữ nhật.

b) tam giác MEF có I là trung điểm của ME, K là trung điểm của MF nên IK là đường trung bình của tam giác MEF

=> IK//EF

IK=1/2EF hayEF=2IK.

c) Tam giác ABC có I là trung điểm của AB

K là trung điểm của AC

=> Ik là đường trung bình của tam giác ABC

=> IK//BC=> IK//HM, hay IKMH là hình thang.

Vì AIMK là hình chữ nhật(cmt)

nên AI//KM => góc AIK=MKI(so le trong)

ta có IK//BC(cmt) => Góc AIK=IBC(đồng vị)

từ hai điều này suy ra Góc IBH=MKI.(1)

Tam giác AHB vuông tại H, có HI là trung tuyến

=> IH=IB => Góc IBH=IHB. mà Góc IHB=HIK

=> Góc IBH = HIK(2)

Từ (1) và (2) suy ra Góc HIK=MKI

HÌnh thang IKMH có 2 góc kề đáy HIK=MKI bằng nhau, nên IKMH là hình thang cân.

d) Ta có Góc HIK=MKI(cmt)

mà góc MKI=AIK(so le trong)

nên góc AIK=HIK

Xét tam giác AIK và HIK có

AI=IH(cmt)

AIK=HIK(cmt)

IK cạnh chung

=> hai tam giác bằng nhau theo trương hợp(c.g.c)

=>HK=AK

=> IK=2HK=2AK

mà IK=1/2BC(cmt); AK=1/2AC, nên ta có:

1/2BC=2.1/2AC

=> AC=1/2BC.

Tam giác ABC vuông tại A, có AC=1/2BC nên tam giác ABC là nửa tam giác đều

=> Góc ACB=60độ=> Góc ABC=30 độ

câu này mình không chắc lắm, theo mình nghĩ thì khi cho IK=2HK thì đây là điều kiện mới, không theo cái cũ nữa

chứ nếu theo cũ thì chắc góc ABC k thể bằng 30 đc.