Giải:
Xét \(\Delta AHI,\Delta AKI\) có:
\(\widehat{AHI}=\widehat{AKI}=90^o\)

AI: cạnh chung

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{A}\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHI=\Delta AKI\) ( c.huyền - g.nhọn )

\(\Rightarrow HI=KI\) ( cạnh t/ứng ) (1)

Xét \(\Delta BHI,\Delta CKI\) có:
IB = IC ( gt )

\(\widehat{BHI}=\widehat{CKI}=90^o\)

IH = IK ( theo (1) )

\(\Rightarrow\Delta BHI=\Delta CKI\) ( c.huyền - c.g.vuông)

\(\Rightarrow BH=CK\) ( cạnh t/ứng ) ( đpcm )

Vậy...

Xét : tg BHI và tg KIC

Có : I là góc chung

       H=K=90

       Mà :AH=AK=>HB=KC

=>tg HBI =tg KIC

=> BH=CK(2 cạnh tương ứng)

Ta có góc BAH+góc HAC=90 độ(tam giác ABC vuông ở A),lại có góc HCA +góc HAC =90 độ( hai góc phụ nhau)

=> góc BAH=HCA=> góc KAH=góc KCA

Xét tam giác HAC có: góc AHC=90 độ => đường trung tuyến HI=1/2AC hay HI=AI

Ta có góc HAC + góc HCA=90 độ hay góc KAH+HAC+KCA=90 => góc AKC =90 độ,Xét tam giác KAC có góc AKC=90 độ => đường trung tuyến KI=1/2AC hay KI=AI mà ta lại có HI=AI(cmt) =>IK=IH(đpcm).     Mình làm hơi tắt và không vẽ hình sorry

mày biết làm rồi bạn nhưng mà vẫn cảm ơn

mình biết làm rùi bạn,ghi nhầm

1.Vì các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I

\(\Rightarrow\)I là giao của các đường phân giác trong tam giác

\(\Rightarrow\)AI là tia phân giác của góc A

1.

Kẻ: \(ID\perp AB;IE\perp BC;IF\perp AC\)

\(\widehat{IDB}=\widehat{IEB}=90^0\)

\(\widehat{DBI}=\widehat{EIB}\left(gt\right)\)

BI cạnh huyền chung

⇒ ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)       (1)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;

\(\widehat{IEC}=\widehat{IFC}=90^0\)

\(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\left(gt\right)\)

CI canh huyền chung

Suy ra:  ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF

Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:

         \(\widehat{IDA}=\widehat{IFA}=90^0\)

            ID = IF (chứng minh trên)

            AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra\(\widehat{DAI}=\widehat{FAI}\) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

2. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK. 

Xét ∆BMI và ∆CMI, ta có:

+) BM = CM (vì IM là đường trung trực của BC)

+)\(\widehat{BMI}=\widehat{CMI}=90^0\)

+) MI cạnh chung 

Suy ra: ∆BMI = ∆CMI (c.g.c)

⇒ IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHA và IKA, có: 

+) \(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\) (AI là phân giác góc A)

+) AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IHA = ∆IKA (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHB và IKC, có:

+) IB = IC (chứng minh trên)

+) IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆IHB = ∆IKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK (2 cạnh tương ứng)

a: Xét ΔIHM và ΔIEM có

IH=IE

góc HIM=góc EIM

IM chung

=>ΔIHM=ΔIEM

b: ΔIHM=ΔIEM

=>góc HMI=góc EMI

c: IH=IE

MH=ME

=>IM là trung trực của HE

=>IM vuông góc HE