Cho ΔABC đều, cạnh a. M, N di động trên AB, AC sao cho \(\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\). Đặt AM=x, AN=y. CMR: MN=a-x-y.
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.Hai điểm M,N di động trên AB,AC sao cho AM/MB + AN/NC =1. Gọi AM=x, AN=y.Chứng minh: a)MN^2=X62 + y^2 - xy
b)MN=a -x-y
c)MN là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Cho tam giác ABC đều , canh a. Hai điểm M,n lần luwowyj di chuyển trên AB,QAC sao cho \(\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\). Đặt Am=x,AN=y. Chúng minh:
a)\(MN^2=x^2-y^2-xy;MN=a-x-y\)
b) MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tâm O
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.Hai điểm M,N di động trên AB,AC sao cho AM/MB + AN/NC =1. Gọi AM=x, AN=y.Chứng minh:
a)MN^2=x^2 + y^2 - xy
b)MN=a -x-y
c)MN là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
a) Kẻ MH ⊥ AC ( H thuộc AC )
+ ΔAMH nửa đều \(\Rightarrow AM=2AH\)
+ ΔMHN vg tại H \(\Rightarrow MN^2=MH^2+NH^2=AM^2-AH^2+NH^2\)
\(=x^2+\left(AH^2+HN^2\right)-2AH^2=x^2+\left(AH+NH\right)^2-2AH^2-2AH\cdot NH\)
\(=x^2+y^2-2AH\left(AH+NH\right)=x^2+y^2-xy\)
b) \(\frac{AM}{BM}+\frac{AN}{CN}=1\Leftrightarrow\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(a-y\right)+y\left(a-x\right)=\left(a-x\right)\left(a-y\right)\)
\(\Leftrightarrow ax+ay-2xy=a^2-ax-ay+xy\Leftrightarrow a^2-2ax-2ay+3xy=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy=a^2+x^2+y^2-2ax-2ay+2xy=\left(a-x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow MN=a-x-y\)
Cho tam giác ABC đều . 2 điểm M,N di động trên 2 cạnh AB,AC sao cho AM/BM+AN/NC=1. CMR
1,MN^2=AM^2-AM.AN+AN^2
2,MN luôn tiếp xúc với 1 đtr cố định khi M,N di động trên cạnh AB,AC mà vẫn thỏa mãn yêu cầu để bài cho
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. M, N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB, AC sao cho hai mặt phẳng (DMN), (ABC) vuông góc với nhau. Đặt
A
M
x
,
A
N
y
Đẳng thức nào sau đây đúng? A.
x
y
(
x
+
y
)
3
B. ...
Đọc tiếp
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. M, N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB, AC sao cho hai mặt phẳng (DMN), (ABC) vuông góc với nhau. Đặt A M = x , A N = y Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. x y ( x + y ) = 3
B. x + y = 3 x y
C. x + y = 3 + x y
D. x y = 3 ( x + y ) .
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác đều ABC, 1 tiếp tuyến của đường tròn cắt cạnh AB,AC ở M,N.
a, CMR: MN^2 = AM^2 + AN^2 - AM.AN
b, CMr
AM/MB + AN/NC = 1
Cho tam giác ABC trên cạnh AB,AC lấy M,N sao cho AM/AB=AN/AC chứng minh AM/MB=AN/NC và MB/AB=NC/AC
tam giác ABC có : M thuộc AB; N thuộc AC
AM/AB = AN/AC
=> MN // BC (đlđ)
kẻ NO _|_ AB
=> S AMN = NO.AM : 2
S MNB = NO.BM :2
=> S AMN : S MNB = AM : BM (2)
kẻ MH _|_ AC
=> S AMN = MH.AN : 2
S MNC = MH.CN : 2
=> S AMN : S MNC = AN.NC (3)
Kẻ BQ _|_ MN ; CP _|_ MN (1)
=> BQ // CP
MN // BC
=> BQPC là hình bình hành
=> BQ = PC (tc)
(1) => S MNB = BQ.MN : 2
S MNC CP.MN : 2
=> S MNB = S MNC (4)
(2)(3)(4) => AM : MB = AN : NC
làm tương tự với ý còn lại
Cho tam giác ABC đều. Các điểm M, N lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho AM/MB+AN/NC=1. Tìm vị trí của M, N để diện tích tam giác AMN lớn nhất.
G/s: Tam giác đều ABC có cạnh bằng a
Đặt AM=x, AN =y, x, y dương và bé hơn a
=> MB=a-x, NC=a-y
Theo bài ra ta có:
\(\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x}{a-x}-\frac{y}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a-x}+1-\frac{a}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a-x}+\frac{a}{a-y}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a-x+a-y}=\frac{4}{2a-\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow x+y\le\frac{2a}{3}\)
Diện tích tam giác AMN:
\(S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.\sin\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.xy.\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.xy\le\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{\sqrt{3}}{16}\frac{4a^2}{9}=\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{a}{3}\)
Vậy AM=1/3AB, AN=1/3AC thì diện tích tam giác AMN lớn nhất bằng \(\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM + AN = AB:
a) Đường trung trực của AB cắt tia phân giác của  tại O. CMR: tam giác BOM = tam giác AON.
b) CMR: Khi MN di động trên 2 cạnh AB và AC nhưng vẫn có: AM + AN = AB thì đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.