Ta có: 

\(S=\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}\)

\(=\left(\frac{a-d}{b+d}+1\right)+\left(\frac{d-b}{c+b}+1\right)+\left(\frac{b-c}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c-a}{d+a}+1\right)-4\)

\(=\frac{a+b}{b+d}+\frac{d+c}{c+b}+\frac{b+a}{a+c}+\frac{c+d}{d+a}-4\)

\(=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{d+a}\right)-4\)

\(\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(c+d\right)}{a+b+c+d}-4\) (Cauchy Schwars)

\(=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=4-4=0\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = d

Vậy Min(S) = 0 khi a = b = c = d

Đúng như mình dự đoán.

bài 1 ( tự luận ) 

a, Để \(\frac{3x+3}{x^2-1}\)Xác định 

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1\ne0\\x-1\ne0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ne-1\\x\ne1\end{cases}}\)

\(\frac{3x+3}{x^2-1}=\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{3}{x-1}\)

Thay \(\frac{3}{x-1}=2\)......

\(c,\)Để \(\frac{3}{x-1}\)nguyên

\(\Rightarrow3⋮x-1\Rightarrow x-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(x-1=1\Rightarrow x=2\)

\(x-1=-1\Rightarrow x=0\)

\(x-1=3\Rightarrow x=4\)

\(x-1=-3\Rightarrow x=-2\)

\(KL:x\in\left\{0;4;\pm2\right\}\)

Đặt \(b+c+d=x;c+d+a=y;a+b+d=z;a+b+c=t\)

Có \(a=\frac{y+z+t-2x}{3}\)

Tương tự :\(b=\frac{x+z+t-2y}{3}\)

\(c=\frac{x+y+t-2z}{3}\)

\(d=\frac{y+x+z-2t}{3}\)

Đặt \(M=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)

Thay vào biểu thức ta có :

\(M=\frac{\frac{y+z+t-2x}{3}}{x}+\frac{\frac{x+z+t-2y}{3}}{y}+\frac{\frac{x+y+t-2z}{3}}{z}+\frac{\frac{y+x+z-2t}{3}}{t}\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{y+z+t-2x}{x}+\frac{x+z+t-2y}{y}+\frac{x+y+t-2z}{z}+\frac{x+z+y-2t}{t}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{t}{x}+\frac{x}{t}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{t}{y}+\frac{y}{t}\right)+\left(\frac{t}{z}+\frac{z}{t}\right)-8\right]\)

Sử dụng BĐT Cô-si suy ra \(Min_M=\frac{1}{3}.\left(12-8\right)=\frac{4}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t hay \(b+c+d=a+b+c=c+d+a=b+d+a\) ( tự giải ra a=b=c=d)

Đặt \(N=\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+a+d}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)

\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{d}{a}+\frac{a}{d}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{d}{c}+\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{b}{d}+\frac{d}{b}\right)\)

Sử dụng Cô-si ra \(N\ge12\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d ( tự giải ).

Do đó \(S=M+N\ge\frac{4}{3}+12=13\frac{1}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d\)

\(\)

Áp dụng bđt cô - si cho 2 số không âm, ta được:

\(S=\text{ Σ}_{a,b,c,d}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}\right)+\text{ Σ}_{a,b,c,d}\frac{8}{9}.\frac{b+c+d}{9a}\)

\(\ge8\sqrt[8]{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b}{c+d+a}.\frac{c}{a+b+d}.\frac{d}{a+b+c}}\)\(\sqrt{\frac{b+c+d}{9a}.\frac{c+d+a}{9b}.\frac{a+b+d}{9c}.\frac{a+b+c}{9d}}\)

\(+\frac{8}{9}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right)\)

\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12=\frac{40}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d

Trl:

Bạn kia trả lời đúng rồi nhoa :))

Hok tốt

~ nhé bạn ~

1) Ta có : \(\frac{2016a+b+c+d}{a}=\frac{a+2016b+c+d}{b}=\frac{a+b+2016c+d}{c}=\frac{a+b+c+2016d}{d}\)

Trừ 4 vế với 2015 ta được : \(\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

Nếu a + b + c + d = 0

=> a + b = -(c + d)

=> b + c = (-a + d) 

=> c + d = -(a + b)

=> d + a = (-b + c)

Khi đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 4

Nếu a + b + c + d\(\ne0\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\Rightarrow a=b=c=d\)

Khi đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

2) a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left|x+2013\right|\ge0\forall x\\\left(3x-7\right)^{2004}\ge0\forall y\end{cases}\Rightarrow\left|x+2013\right|+\left(3x-7\right)^{2014}\ge0}\)

Dấu "=" xảy ra \(\hept{\begin{cases}x+2013=0\\3y-7=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2013\\y=\frac{7}{3}\end{cases}}}\)

b) 7^2x + 7^{2x + 3} = 344

=> 7^2x + 7^2x.7³ = 344

=> 7^2x.(1 + 7³) = 344

=> 7^2x  = 1

=> 7^2x = 7⁰

=> 2x = 0 => x = 0

c) Ta có :

 \(\frac{7}{2x+2}=\frac{3}{2y-4}=\frac{5}{x+4}\Leftrightarrow\frac{7}{2x+2}=\frac{3}{2y-4}=\frac{10}{2x+8}=\frac{7-10}{2x+2-2x-8}=\frac{1}{2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

=>  2x + 2 = 14 => x = 6 ; 

2y - 4 = 6 => y = 5 ; 

6 + 5 + z = 17 => z = 6 

Vậy x = 6 ; y = 5 ; z = 6

3) a) Ta có : \(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}=\frac{a+b+c-a+b-c}{a+b-c-a+b+c}=\frac{2b}{2b}=1\)(dãy ti số bằng nhau) 

=> a + b + c = a + b - c => a + b + c - a - b + c = 0 => 2c = 0 => c = 0;  

Lại có : \(\frac{a+b+c}{a+b-c}-1=\frac{a-b+c}{a-b-c}-1\Leftrightarrow\frac{2c}{a+b-c}=\frac{2c}{a-b-c}\Rightarrow a+b-c=a-b-c\) => b = 0 

Vậy c = 0 hoặc b = 0

c) Ta có : \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b+b+c+a+c}{c+a+b}=2\)(dãy tỉ số bằng nhau) 

=> \(\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\a+c=2b\end{cases}}\)

Khi đó P = \(\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)=\frac{b+c}{b}.\frac{c+a}{c}=\frac{a+b}{a}=\frac{2a.2b.2c}{abc}=8\)

Vậy P = 8

2. b) \(7^{2x}+7^{2x+3}=344\)

        \(7^{2x}\cdot\left(1+7^3\right)=344\)

        \(7^{2x}\cdot\left(1+343\right)=344\)

        \(7^{2x}\cdot344=344\)

               \(7^{2x}=1\)  

               \(7^{2x}=7^0\)

              \(2x=0\)

               \(x=0\)

M không có giá trị tự nhiên vì để m là số tự nhiên thì các phân số phải là số tự nhiên mà tử số lớn hơn mẫu số nên số đó không phải là số tự nhiên 

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)

\(\frac{\Rightarrow1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)

Thay vào M ta có 

\(\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)

P/s : hỏi từng câu thôi 

Tại bận -.-

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\)\(\Leftrightarrow ab.\left(b+c\right)=bc.\left(a+b\right)\Leftrightarrow ab^2+abc=b^2c+abc\Leftrightarrow ab^2=b^2c\Leftrightarrow a=c\left(b\ne0\right)\)(1)

\(\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Leftrightarrow bc.\left(c+a\right)=ca.\left(b+c\right)\Leftrightarrow bc^2+abc=c^2a+abc\Leftrightarrow b=a\left(c\ne0\right)\)(2)

Từ (1) và (2) => a=b=c

\(M=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

                                    -------------------------------------------------ngăn cách bài--------------------------------------------

ta có: \(VT=\frac{6}{\left(x-1\right)^2+2}\le3\)(--)

dấu = xảy ra khi x-1=0

=> x=1

\(\left|y-1\right|+\left|y-3\right|=\left|-y+1\right|=\left|y-3\right|\ge\left|-y+1+y-3\right|=2\)(2)

\(\left|y-2\right|\ge0\)(1)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VP=\left|y-1\right|+\left|y-3\right|+\left|y-2\right|+1\ge3\)(3)

dấu = xảy ra khi dấu = ở (1) và (2) đồng thời xảy ra

\(\hept{\begin{cases}\left(-y+1\right).\left(y-3\right)\ge0\\y-2=0\end{cases}\Rightarrow y=2}\)

Mà VT=VP => \(\frac{6}{\left(x-1\right)^2+3}=\left|y-1\right|+\left|y-2\right|+\left|y-3\right|+1=3\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}y=2\\x=1\end{cases}}\)

Từ giả thiết : \(abc=b+2c\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+2c}{bc}=a\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có : \(P=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\)

\(=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

\(\ge\frac{4}{2c}+2\cdot\frac{4}{2b}+3\cdot\frac{4}{2a}=\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\)

Áp dụng (1) vào \(P\): \(\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}=2\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}\right)=2\left(a+\frac{3}{a}\right)\ge4\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Vậy \(Min_P=4\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y},x>0,y>0\)

\(P=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\)

Từ giả thiết ta có: \(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a\) nên \(\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=2\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}\right)=2\left(a+\frac{3}{a}\right)\ge4\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(4\sqrt{3}\) đạt được khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

cô lấy đề thầy cẩn full luôn ạ cô